Mostre que a Lei das Áreas de Kepler é uma consequência direta da conservação da componente z do momento angular. Sendo Lz a componente perpendicular ao plano da órbita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num movimento sob força central (isto é, ), a Lei das Áreas de Kepler — “áreas iguais em tempos iguais” — decorre diretamente da conservação da componente do momento angular . Vamos usar:
– Teoria de torque e conservação de momento angular em forças centrais.
– Expressão da área varrida por um vetor posição num intervalo de tempo infinitesimal.
Passo 2
Mostramos que sob força central o torque é zero, logo é constante.
O torque é
mas como é paralelo a , tem-se . Da segunda lei de Newton para rotações:
Em particular, a componente perpendicular ao plano da órbita, , é constante.
Passo 3
Expressamos a área elementar varrida pelo raio-vetor ao passar de a . Geometricamente,
Passo 4
Dividindo por d t, usando d r/ d t= v, vem
d A d t =12,l| rtimes vr|
Por outro lado, o momento angular é L=m,( rtimes v), logo
l| rtimes vr| =| L|m =Lzm,
pois rtimes v está ao longo de z.
Passo 5
Substituindo em d A/ d t obtemos
d A d t =12,Lzm
Como Lz e m são constantes, d A/ d t é constante. Isso é exatamente a Lei das Áreas de Kepler: em qualquer intervalo de tempo igual, a área varrida é a mesma.
Resposta
A Lei das Áreas de Kepler decorre do fato de que
d A d t =Lz2m
é constante, pois Lz é constante em forças centrais.