• Mostre que a Lei das Áreas de Kepler é uma consequência direta da conservação da componente z do momento angular. Sendo Lz a componente perpendicular ao plano da órbita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num movimento sob força central (isto é, F=F(r), r), a Lei das Áreas de Kepler — “áreas iguais em tempos iguais” — decorre diretamente da conservação da componente z do momento angular L. Vamos usar:
– Teoria de torque e conservação de momento angular em forças centrais.
– Expressão da área varrida por um vetor posição r num intervalo de tempo infinitesimal.

Passo 2

Mostramos que sob força central o torque é zero, logo L é constante.
O torque é
tau ;=; rtimes F
mas como F é paralelo a r, tem-se tau=0. Da segunda lei de Newton para rotações:
d Ldt=tau=0 Longrightarrow L=constante
Em particular, a componente perpendicular ao plano da órbita, Lz, é constante.

Passo 3

Expressamos a área elementar d A varrida pelo raio-vetor r ao passar de r a r+ d r. Geometricamente,
d A = tfrac12,l| rtimes d rr|

Passo 4

Dividindo por d t, usando d r/ d t= v, vem
d A d t =12,l| rtimes vr|
Por outro lado, o momento angular é L=m,( rtimes v), logo
l| rtimes vr| =| L|m =Lzm,
pois rtimes v está ao longo de z.

Passo 5

Substituindo em d A/ d t obtemos
d A d t =12,Lzm
Como Lz e m são constantes, d A/ d t é constante. Isso é exatamente a Lei das Áreas de Kepler: em qualquer intervalo de tempo igual, a área varrida é a mesma.

Resposta

A Lei das Áreas de Kepler decorre do fato de que
d A d t =Lz2m
é constante, pois Lz é constante em forças centrais.

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