Considere as funções sen e , definidas para . Calcule o wronskiano dessas funções e encontre uma edo do tipo Euler de segunda ordem possuindo e como soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas funções
definidas para . Precisamos (a) calcular o wronskiano
e (b) encontrar uma equação de Euler de segunda ordem
x^2y'' + alpha,x,y' + beta,y = 0
cuja base de soluções seja justamente y1,y2.
Passo 2
Primeiro, note que
ln(x^n)=nln x
Definindo u=nln x, temos
y1(x)=x^msin(u), y2(x)=x^mcos(u)
Para derivar, usamos a regra do produto e u'=n/x:
y1' = ddxl(x^mr)sin u + x^mcos ucdot u' = m,x^m-1sin u + x^mcos ucdotnx = x^m-1l(msin u + ncos ur),
y2' = m,x^m-1cos u - x^msin ucdotnx = x^m-1l(mcos u - nsin ur)