Considere as funções y1(x)=x^m sen ln (x^n) e y2(x)=x^m cos ln (x^n), definidas para x>0. Calcule o wronskiano w(x) dessas funções e encontre uma edo do tipo Euler de segunda ordem possuindo y1 e y2 como soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções
y1(x)=x^msinl(ln(x^n)r), y2(x)=x^mcosl(ln(x^n)r),
definidas para x>0. Precisamos (a) calcular o wronskiano
w(x)= y1 & y2 y1' & y2'
e (b) encontrar uma equação de Euler de segunda ordem
x^2y'' + alpha,x,y' + beta,y = 0
cuja base de soluções seja justamente y1,y2.

Passo 2

Primeiro, note que
ln(x^n)=nln x
Definindo u=nln x, temos
y1(x)=x^msin(u), y2(x)=x^mcos(u)
Para derivar, usamos a regra do produto e u'=n/x:
y1' = ddxl(x^mr)sin u + x^mcos ucdot u' = m,x^m-1sin u + x^mcos ucdotnx = x^m-1l(msin u + ncos ur),
y2' = m,x^m-1cos u - x^msin ucdotnx = x^m-1l(mcos u - nsin ur)

Passo 3

Agora o wronskiano é
w(x) = y1,y2' - y2,y1' = x^msin u;l[x^m-1(mcos u-nsin u)r] - x^mcos u;l[x^m-1(msin u+ncos u)r]
Fatorando x^2m-1 e simplificando as funções trigonométricas, obtemos
w(x) = x^2m-1l[sin u,(mcos u-nsin u) - cos u,(msin u+ncos u)r] = -n,x^2m-1

Passo 4

Para achar a EDO de Euler cujo polinômio característico tenha raízes
r1,2=mpm i,n, lembre que a forma geral é
x^2y'' + alpha,x,y' + beta,y = 0,
com equação característica
r(r-1)+alpha,r+beta=0
As somas e produto das raízes valem
r1+r2=2m, r1r2=m^2+n^2
Por outro lado, da forma característica temos
r1+r2=-(alpha-1), r1r2=beta

Passo 5

Igualando, fica
-(alpha-1)=2m ;Longrightarrow; alpha=1-2m, beta=m^2+n^2
Logo, a equação de Euler procurada é
x^2y'' + (1-2m),x,y' + (m^2+n^2),y = 0

Resposta

w(x) = -,n,x^2m-1, x^2y'' + (1-2m),x,y' + (m^2+n^2),y = 0

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