Mostre que \lim _{n \rightarrow+\infty} 2^{-n} \operatorname{sen}(n)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência a_n=2^{-n}\operatorname{sen}(n) e pede para mostrar que
\lim_{n\to+\infty}2^{-n}\operatorname{sen}(n)=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos usar imediatamente):
  • Para todo n\in\mathbb{N}, \operatorname{sen}(n) é um número real entre -1 e 1.
  • A sequência 2^{-n} é positiva e tende para 0 quando n\to+\infty (isto será justificado nos próximos passos).

Passo 2

Primeiro fato útil e simples: a função seno tem valores entre -1 e 1. Portanto, para todo n vale
-1 \le \operatorname{sen}(n) \le 1,
e, tomando valor absoluto,
\bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr| \le 1.
Isto é só a propriedade básica do seno: ele nunca ultrapassa \pm1.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade \bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr|\le1 por 2^{-n} (que é não negativo para todo n), obtemos
\bigl|2^{-n}\operatorname{sen}(n)\bigr| \le 2^{-n}.
Isto mostra que o valor absoluto de a_n é controlado pela sequência positiva 2^{-n}.

Passo 4

Agora justifico que 2^{-n} tende a 0. Escrevendo
2^{-n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},
vemos que é uma progressão geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}, onde |r|<1. Uma maneira simples de ver que \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to0 é notar que a sequência é monotona decrescente e limitada inferiormente por 0, logo converge; se L é o limite então
L=\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n=\tfrac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n=\tfrac{1}{2}L,
daí (1-\tfrac{1}{2})L=0 e portanto L=0. Conclusão:
\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem): temos para todo n
-2^{-n}\le 2^{-n}\operatorname{sen}(n)\le 2^{-n},
e como os limites das sequências -2^{-n} e 2^{-n} são ambos 0 quando n\to\infty, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}2^{-n}\operatorname{sen}(n)=0.
Intuitivamente: multiplicar uma sequência limitada (o seno) por uma sequência que vai para zero (a potência 2^{-n}) anula qualquer oscilação e força o produto a ir para zero.

Resposta

0

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