Se \lim x_{n}=l, prove que \lim \left|x_{n}\right|=|l|.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência \{x_n\}_{n=1}^\infty tal que \lim x_{n}=l. A pergunta é: provar que \lim |x_{n}|=|l|.
Informações relevantes fornecidas:
A sequência \{x_n\} converge para \,l, isto é, pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale |x_n-l|<\varepsilon.
Quer-se mostrar que a sequência \{|x_n|\} converge para |l|, ou seja, que para todo \varepsilon>0 existe N' tal que para todo n\ge N' vale \bigl||x_n|-|l|\bigr|<\varepsilon.
Passo 2
Vamos provar uma desigualdade útil e simples que vale para quaisquer números reais a e b:
\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
Prova desta desigualdade (passo a passo):
Pela desigualdade triangular clássica, para quaisquer a,b\in\mathbb{R} tem-se
|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|.
Subtraindo |b| dos dois lados obtemos
|a|-|b|\le |a-b|.
Trocando os papéis de a e b na mesma argumentação, obtemos
|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|.
As duas desigualdades acima implicam que tanto |a|-|b|\le |a-b| quanto |b|-|a|\le |a-b|. Isso é equivalente a
-\;|a-b|\le |a|-|b|\le |a-b|,
ou seja precisamente
\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
Assim a desigualdade está provada.
Passo 3
Aplicando a desigualdade ao caso a=x_n e b=l (isto é, tomando a como o termo geral da sequência e b como o limite), obtemos para todo n
\bigl||x_n|-|l|\bigr|\le |x_n-l|.
Essa desigualdade é a ferramenta que vai permitir “transferir” a convergência de x_n para |x_n|.
Passo 4
Agora use a definição de limite da sequência \{x_n\}. Seja arbitrário \varepsilon>0. Como \lim x_n=l, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-l|<\varepsilon.
Pela desigualdade do Passo 3, para todo n\ge N temos
\bigl||x_n|-|l|\bigr|\le |x_n-l|<\varepsilon.
Portanto, tomando N'\!:=N, obtemos que para todo n\ge N' vale \bigl||x_n|-|l|\bigr|<\varepsilon.
Passo 5
A condição do Passo 4 é exatamente a definição de \lim |x_n|=|l|: dado \varepsilon>0 existe N' tal que para todo n\ge N' tem-se \bigl||x_n|-|l|\bigr|<\varepsilon. Assim concluímos a prova.
Comentário rápido e encorajador: essa demonstração usa apenas a desigualdade \bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b| e a definição de limite — é um caminho direto e muito prático para usar em provas ou na prova que você vai fazer. Você mandou bem chegando até aqui!