Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
(20.4) f(x, y)=2 x y^2y-1 e P0(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de $ f(x, y) = \frac{2xy^{2}}{y-1} $ quando o ponto $ P = (x, y) $ se aproxima de $ P_{0} = (0, 1) $ não existe. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de $ P_{0} $ por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar um caminho simples: aproximar-se de $ P_{0} $ ao longo da linha $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
P0
Então, quando $ x $ se aproxima de 0 ao longo de $ x = 0 $, o limite de $ f(x, y) $ é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de $ P_{0} $. Vamos considerar uma linha reta que passa por $ P_{0} $ com inclinação $ m $, ou seja, $ y = 1 + m x $.
Substituindo $ y = 1 + m x $ na função:
P0
À medida que $ x $ se aproxima de 0, os termos $ 2m x $ e $ m{2}x{2} $ tendem a 0, então o limite fica:
P0

Passo 4

Observamos que o limite depende do valor de $ m $, que representa a inclinação do caminho que escolhemos para nos aproximar de $ P_{0} $. Se escolhermos valores diferentes de $ m $, obteremos limites diferentes. Por exemplo:
  • Se $ m = 1 $, o limite é $ 2 $.
  • Se $ m = 2 $, o limite é $ 1 $.
  • Se $ m $ tende a infinito, o limite tende a $ 0 $.

Passo 5

Como conseguimos diferentes valores para o limite dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de $ P_{0} $, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite de $ f(x, y) $ quando $ P $ se aproxima de $ P_{0}(0,1) $ não existe.

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