Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
ly1^prime=-y1+5 y2 y2^prime=-y1+3 y2 y1(0)=7, y2(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de valor inicial:
y1'= -y1 + 5y2, y2'= -y1 + 3y2, y1(0)=7,;y2(0)=2
Conteúdo: sistemas lineares com coeficientes constantes e uso de autovalores/autovetores.

Passo 2

Escrever o sistema na forma matricial y'=Ay, onde
A=-1 & 5 -1 & 3, y=y1 y2

Passo 3

Calcular os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0:
det-1-lambda & 5 -1 & 3-lambda =( -1-lambda)(3-lambda)-(-1)5 =lambda^2-2lambda+2=0
Logo lambda=1pm i.

Passo 4

Para lambda=1+i, resolver (A-lambda I)v=0:
-2-i & 5 -1 & 2-i v1v2=0
Escolhendo v2=1 obtém-se v1=(5)/(2+i)=2-i, ou seja
v=2-i1

Passo 5

A solução complexa geral é C e^(1+i)tv. Para ter solução real definimos
v e^it=u(t)+i w(t), com
u(t)=2cos t+sin t cos t, w(t)=2sin t-cos t sin t

Passo 6

Assim a solução real geral é
y(t)=e^tl[C1u(t)+C2w(t)r]

Passo 7

Impondo y(0)=[7;2]=C1u(0)+C2w(0), com
u(0)=21, w(0)=-10, resolve-se
2C1 - C2 =7, C1 =2, obtendo C1=2 e C2=-3.
Substituindo de volta e simplificando, chega-se em
y(t)=e^t7cos t-4sin t2cos t-3sin t

Resposta

y1(t)=e^tl(7cos t-4sin tr), y2(t)=e^tl(2cos t-3sin tr).

Exercícios relacionados