Resolva:
y1^prime & =4 y2+5 e^t y2^prime & =-y1-20 e^-t y1(0) & =1, y2(0)=0

Passo 1

Temos o seguinte sistema de EDOs acopladas de primeira ordem:
y1'=4y2+5e^t y2'=-y1-20e^-t
com condições iniciais y1(0)=1, y2(0)=0. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares de EDOs com coeficientes constantes pelo método de eliminação, usando teoria de solução geral (parte homogênea + particular).

Passo 2

Para eliminar y2, expressamos y2 em função de y1' pela primeira equação:
y2=y1'-5e^t4
Em seguida, derivamos essa expressão para obter y2' em termos de y1'':
y2'=y1''-5e^t4
Igualando ao segundo membro dado ( y2'=-y1-20e^-t) e multiplicando por 4, chegamos à EDO de segunda ordem para y1:
y1''+4y1=5e^t-80e^-t

Passo 3

Para resolver a homogênea associada y1''+4y1=0, montamos a equação característica r^2+4=0, com raízes r=±2i. Logo, a solução homogênea é
y1h(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular da forma y1p(t)=Ae^t+Be^-t. Substituindo em y1''+4y1=5e^t-80e^-t obtemos
5Ae^t+5Be^-t=5e^t-80e^-t,
logo 5A=5 e 5B=-80, ou seja A=1, B=-16. Assim,
y1p(t)=e^t-16e^-t

Passo 5

Combinando homogênea e particular, a solução geral é
y1(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)+e^t-16e^-t
Usando y1(0)=1 e y1'(0)=4y2(0)+5e^0=5, calculamos:
y1(0)=C1-15=1implies C1=16,
y1'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t)+e^t+16e^-t,
então (y_1’(0)=2C_2+17=5\implies C_2=-6.]

Passo 6

Por fim, obtemos y2(t) a partir de y2=(y1'-5e^t)/4. Como
y1'(t)=-32sin(2t)-12cos(2t)+e^t+16e^-t,
segue
y2(t)=-8sin(2t)-3cos(2t)-e^t+4e^-t

Resposta

y1(t)=16cos(2t)-6sin(2t)+e^t-16e^-t, y2(t)=-8sin(2t)-3cos(2t)-e^t+4e^-t

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