Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: temos uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes,
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=14. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois ajustar os constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Formar a equação característica: substituímos y=e^{rx} para obter
Resolvendo-a, achamos as raízes que determinam os expoentes da solução.
Passo 3
Obter as raízes da característica: resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara, temos
logo r_1=3 e r_2=-1.
Passo 4
Escrever a solução geral: como as raízes são distintas, a solução geral é
$$
y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}$$
Passo 5
Calcular a derivada y’(x) para usar a segunda condição inicial:
$$
y’(x)=3C_1e{3x}-C_2e{-x}$$
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2:
- Em x=0: y(0)=C_1+C_2=2
- Em x=0: y’(0)=3C_1- C_2=14
Somando as duas equações obtemos 4C_1=16 ⇒ C_1=4, e então C_2=2-4=-2.
Passo 7
Escrever a solução particular substituindo C_1 e C_2:
$$
y(x)=4e{3x}-2e{-x}$$