Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=14

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes,
y''-2y'-3y=0
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=14. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois ajustar os constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formar a equação característica: substituímos y=e^{rx} para obter
r^2-2r-3=0
Resolvendo-a, achamos as raízes que determinam os expoentes da solução.

Passo 3

Obter as raízes da característica: resolvendo
r^2-2r-3=0
usando a fórmula de Bhaskara, temos
r= rac2oldsymbol aisebox0ptscriptsize±raiz4+122= rac2±42 
logo r_1=3 e r_2=-1.

Passo 4

Escrever a solução geral: como as raízes são distintas, a solução geral é
$$
y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}$$

Passo 5

Calcular a derivada y’(x) para usar a segunda condição inicial:
$$
y’(x)=3C_1e{3x}-C_2e{-x}$$

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2:
  1. Em x=0: y(0)=C_1+C_2=2
  2. Em x=0: y’(0)=3C_1- C_2=14
Somando as duas equações obtemos 4C_1=16 ⇒ C_1=4, e então C_2=2-4=-2.

Passo 7

Escrever a solução particular substituindo C_1 e C_2:
$$
y(x)=4e{3x}-2e{-x}$$

Resposta

y(x)=4e^3x-2e^-x

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