Os sistemas dados a seguir têm a entrada x(t) ou x[n] e saída y(t) ou y[n], respectivamente. Determine se cada um deles é (i) sem memória, (ii) estável, (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante no tempo e justifque suas respostas.
y[n]=2 x\left[2^{n}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto com entrada x[n] e saída y[n] definida por
y[n]=2\,x\bigl[2^{n}\bigr].
As perguntas a responder são, para este sistema, se ele é:
(i) sem memória (memoryless),
(ii) estável (BIBO estável),
(iii) causal,
(iv) linear,
(v) invariante no tempo (time-invariant).
Vou trabalhar com a forma que o enunciado deu: a saída no índice n é 2 vezes o valor de x no índice 2^{n}. (Obs.: há uma pequena ambiguidade se o índice 2^{n} está sempre definido para todos os n inteiros negativos — vou assumir que o sistema está considerado para os tempos n para os quais 2^{n} é um índice válido de x, tipicamente n\in\{0,1,2,\dots\}. Essa suposição não afeta as respostas qualitativas pedidas.)

Passo 2

Definição e verificação de “sem memória”.
  • Definição: um sistema discreto é sem memória (memoryless) se, para todo n, a saída y[n] depende apenas de x no mesmo instante n; ou seja, existe uma relação do tipo y[n]=F\bigl(x[n]\bigr) sem referência a x[k] com k\neq n.
  • Aqui temos y[n]=2\,x\bigl[2^{n}\bigr]. Para que o sistema fosse sem memória precisaríamos ter 2^{n}=n para todo n, o que não é verdade.
  • Exemplo numérico simples que mostra dependência de outro instante: para n=1 obtemos y[1]=2\,x[2]. Ou seja, y[1] depende de x em 2, e não em 1. Isso demonstra que a saída em n pode depender de x em um instante diferente de n.
  • Conclusão: o sistema possui memória (não é sem memória).

Passo 3

Definição e verificação de estabilidade (BIBO).
  • Definição: um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Mais formalmente, se existe B_x<\infty tal que |x[k]|\le B_x para todo k, então deve existir B_y<\infty com |y[n]|\le B_y para todo n.
  • Aplicando ao nosso sistema: se |x[k]|\le B_x para todo k, então para todo n (onde o sistema está definido)
|y[n]| = \bigl|2\,x[2^{n}]\bigr| = 2\,\bigl|x[2^{n}]\bigr| \le 2\,B_x.
  • Assim podemos escolher B_y=2B_x, que é finito sempre que B_x é finito.
  • Conclusão: o sistema é BIBO estável (sim, estável).

Passo 4

Definição e verificação de causalidade.
  • Definição: um sistema é causal se, para cada n, a saída y[n] depende apenas de valores de entrada x[k] com k\le n (isto é, presente ou passado), jamais de valores futuros k>n.
  • No nosso caso y[n]=2\,x[2^{n}]. Compare 2^{n} com n:
    • Para n=0, 2^{0}=1>0 (depende de x[1], futuro relativo a n=0).
    • Para n=1, 2^{1}=2>1 (depende de x[2], futuro relativo a n=1).
    • Para n\ge 1 temos 2^{n}>n, portanto a saída em n usa valores de x em índices maiores que n (futuros).
  • Assim há, para muitos n, dependência de valores futuros de x, o que viola causalidade.
  • Conclusão: o sistema não é causal.

Passo 5

Verificação de linearidade (superposição e homogeneidade).
  • Definição: um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e escalares a,b,
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
  • Calcule o operador do sistema sobre a x_1 + b x_2:
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = 2\,(a x_1 + b x_2)\bigl[2^{n}\bigr] = 2\bigl(a x_1[2^{n}] + b x_2[2^{n}]\bigr).
  • Distribuindo:
2\bigl(a x_1[2^{n}] + b x_2[2^{n}]\bigr) = a\bigl(2 x_1[2^{n}]\bigr) + b\bigl(2 x_2[2^{n}]\bigr) = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
  • A igualdade acima mostra que o operador obedece superposição e homogeneidade.
  • Conclusão: o sistema é linear.

Passo 6

Verificação de invariância no tempo (time-invariance).
  • Definição: um sistema T é invariante no tempo se, para todo deslocamento inteiro n_0, valer
T\{x[n-n_0]\}[n] = y[n-n_0],
onde y[n]=T\{x\}[n]. Em palavras: deslocar a entrada em n_0 desloca a saída no mesmo n_0.
  • Seja y[n]=T\{x\}[n]=2\,x[2^{n}]. Considere a entrada deslocada x_{d}[n]=x[n-n_0]. A saída correspondente é
T\{x_{d}\}[n] = 2\,x_{d}\bigl[2^{n}\bigr] = 2\,x\bigl[2^{n}-n_0\bigr].
  • Por outro lado, deslocar a saída original por n_0
y[n-n_0] = 2\,x\bigl[2^{\,n-n_0}\bigr].
  • Para time-invariance precisaríamos ter, para todo n,n_0,
2\,x\bigl[2^{n}-n_0\bigr] \;=\; 2\,x\bigl[2^{\,n-n_0}\bigr],
ou seja, 2^{n}-n_0 = 2^{\,n-n_0} para todos os n,n_0 (ou, pelo menos, que os valores de x nesses índices coincidam para todos os sinais x). Mas em geral 2^{n}-n_0 \neq 2^{\,n-n_0}.
  • Exemplo concreto de contradição: tome n_0=1 e n=2. Então
    • T\{x[n-1]\}[2] = 2\,x[2^{2}-1]=2\,x[4-1]=2\,x[3].
    • y[2-1]=y[1]=2\,x[2^{1}]=2\,x[2].
    • Essas duas quantidades são diferentes em geral (por exemplo, se x[3]=1 e x[2]=0 obtém-se 2 e 0).
  • Portanto a igualdade exigida pela invariância no tempo falha.
  • Conclusão: o sistema não é invariante no tempo.

Passo 7

Resumo das justificativas rápidas (para fixar na cabeça antes da resposta final):
  • Memória: depende de x[2^{n}] com 2^{n}\neq n geralmente ⇒ tem memória.
  • Estabilidade: se |x[k]|\le B_x então |y[n]|\le 2B_x ⇒ BIBO estável.
  • Causalidade: para vários n temos 2^{n}>n ⇒ depende de valores futuros ⇒ não causal.
  • Linearidade: operador preserva soma e escala ⇒ linear.
  • Invariância no tempo: deslocamento da entrada não resulta no mesmo deslocamento da saída por causa da não-linearidade do índice 2^{n} ⇒ não invariante no tempo.

Resposta

(i) Não (possui memória).
(ii) Sim (BIBO estável).
(iii) Não (não causal).
(iv) Sim (linear).
(v) Não (não invariante no tempo).

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