Mostre que lim x 0 x^4 cdot cos (2x+5 pi)=0.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem potências de e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema Sandwich), que nos ajuda a determinar limites quando a função está “presa” entre duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(2x + 5pi) <= 1
Isso significa que, independente do valor de , a função cosseno vai oscilar entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os membros dessa desigualdade por - x^4 <= x^4 cdot cos(2x + 5pi) <= x^4 . Como é sempre positivo (independente do sinal de ), a direção das desigualdades se mantém:

Passo 4

Sabemos que limx 0 -x^4 = 0 e limx 0 x^4 = 0 . Portanto, os limites das duas extremidades da desigualdade são ambos zero:

Passo 5

Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função também é esse valor. Assim:
lim x 0 x^4 cdot cos (2x+5 pi) = 0

Resposta

0

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