Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem potências de
e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema Sandwich), que nos ajuda a determinar limites quando a função está “presa” entre duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independente do valor de
, a função cosseno vai oscilar entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os membros dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (independente do sinal de
), a direção das desigualdades se mantém:
Passo 4
Sabemos que
. Portanto, os limites das duas extremidades da desigualdade são ambos zero:
Passo 5
Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função também é esse valor. Assim:
Resposta
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