Verifique que as séries sumn=0^infty x^n, sumn=1^infty x^nn^2 e sumn=1^infty x^nn possuem o mesmo raio de convergência, mas intervalos de convergência distintos.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos as séries de potências sumn=0^inftyx^n, sumn=1^inftyx^nn^2 e sumn=1^inftyx^nn. O objetivo é mostrar que todas têm o mesmo raio de convergência, mas intervalos de convergência diferentes. Vamos usar o teste da razão (ou da raiz) para o raio e analisar cada extremidade x=pm1 com testes clássicos (série geométrica, p-série e série alternada).

Passo 2

Para sumn=0^inftyx^n: aplicando o teste da razão, consideramos an=x^n. Temos
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|=|x|
Converge se |x|<1, logo o raio é R=1.

Passo 3

Ainda para sumn=0^inftyx^n, analisamos os extremos:
  • Em x=1 fica sum1, que diverge.
  • Em x=-1 fica sum(-1)^n, cujas somas parciais oscilam sem limite.
    Portanto o intervalo de convergência é (-1,1).

Passo 4

Para sumn=1^inftyx^nn^2: usando o teste da raiz,
limntoinftyraiz[n]|x^nn^2| =limntoinfty|x|,n^-2/n=|x|
Logo o raio também é R=1.

Passo 5

Analisando sumn=1^inftyx^nn^2 em x=pm1:
  • Em x=1 vira sum1/n^2, que converge (p-série com p=2>1).
  • Em x=-1 vira sum(-1)^n/n^2, que converge absolutamente pelo mesmo critério.
    Portanto o intervalo é [-1,1].

Passo 6

Para sumn=1^inftyx^nn: pelo teste da raiz,
limntoinftyraiz[n]|x^nn| =limntoinfty|x|,n^-1/n=|x|,
de novo R=1.

Passo 7

Em x=1: sum1/n diverge (série harmônica). Em x=-1: sum(-1)^n/n converge pelo teste da série alternada (termos decrescentes em módulo e ânulo). Logo o intervalo é [-1,1).

Resposta

Os três raios de convergência são iguais a R=1, mas os intervalos são diferentes:
  • sumn=0^infty x^n converge em (-1,1).
  • sumn=1^infty tfracx^nn^2 converge em [-1,1].
  • sumn=1^infty tfracx^nn converge em [-1,1).

Exercícios relacionados