Verifique que as séries e possuem o mesmo raio de convergência, mas intervalos de convergência distintos.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos as séries de potências , e . O objetivo é mostrar que todas têm o mesmo raio de convergência, mas intervalos de convergência diferentes. Vamos usar o teste da razão (ou da raiz) para o raio e analisar cada extremidade com testes clássicos (série geométrica, p-série e série alternada).
Passo 2
Para : aplicando o teste da razão, consideramos . Temos
Converge se |x|<1, logo o raio é R=1.
Passo 3
Ainda para sumn=0^inftyx^n, analisamos os extremos:
Em x=1 fica sum1, que diverge.
Em x=-1 fica sum(-1)^n, cujas somas parciais oscilam sem limite.
Portanto o intervalo de convergência é (-1,1).
Em x=1: sum1/n diverge (série harmônica). Em x=-1: sum(-1)^n/n converge pelo teste da série alternada (termos decrescentes em módulo e ânulo). Logo o intervalo é [-1,1).
Resposta
Os três raios de convergência são iguais a R=1, mas os intervalos são diferentes: