Diz-se que \left(x_{n}\right) é uma Sequência de Cauchy quando, para todo \varepsilon>0 dado, existe n_{0} \in \mathbb{N} tal que m, n>n_{0} \Rightarrow\left|x_{m}-x_{n}\right|<\varepsilon. Responda o que se pede:
a) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Seja 0 \leq c<1. Supondo que \left(x_{n}\right) seja tal que \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq c\left|x_{n+1}-x_{n}\right| para todo n \in \mathbb{N}, prove que ( x_{n} ) é uma sequência de Cauchy.

Passo 1

O enunciado define que uma sequência \bigl(x_n\bigr) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, sempre que m,n>n_{0}, vale
|x_m - x_n| < \varepsilon.
Pede-se:
a) Mostrar que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Dado 0\le c<1 e supondo que
|x_{n+2}-x_{n+1}|\;\le\;c\,|x_{n+1}-x_n|\quad\forall n\in\mathbb{N},
provar que \bigl(x_n\bigr) é de Cauchy.
Conteúdo principal: definição de Cauchy, prova de sequência limitada, argumento de indução e série geométrica para controle de diferenças.

Passo 2

Prova de (a): seja \bigl(x_n\bigr) de Cauchy. Escolha \varepsilon=1. Então existe n_0 tal que, para todo n>n_0,
|x_n - x_{n_0+1}| < 1.
Então, para n>n_0, pela desigualdade triangular,
|x_n| \le |x_{n_0+1}| + |x_n - x_{n_0+1}| < |x_{n_0+1}| + 1.
Para os termos x_1, x_2,\dots,x_{n_0+1} basta tomar
M_1 = \max\bigl\{|x_1|,\dots,|x_{n_0+1}|\bigr\},
e definir
M = \max\bigl\{M_1,\;|x_{n_0+1}|+1\bigr\}.
Então |x_n|\le M para todo n, mostrando que a sequência é limitada.

Passo 3

Para (b), a condição
|x_{n+2}-x_{n+1}|\le c\,|x_{n+1}-x_n|
significa que as diferenças sucessivas formam uma sequência geométrica decrescente (fator c<1). Vamos primeiro estimar |x_{n+1}-x_n| em função de |x_2-x_1|.

Passo 4

Prova por indução de que, para todo n\ge1,
|x_{n+1}-x_n|\;\le\;c^{\,n-1}\,|x_2 - x_1|.
Base ( n=1): |x_2-x_1|\le c^0|x_2-x_1| é óbvio.
Passo indutivo: suponha |x_{k+1}-x_k|\le c^{k-1}|x_2-x_1|. Então
|x_{k+2}-x_{k+1}|\le c\,|x_{k+1}-x_k|\le c\cdot c^{k-1}\,|x_2-x_1|=c^k\,|x_2-x_1|.
Isso completa a indução.

Passo 5

Para m>n, usando telescopia e a desigualdade triangular,
|x_m - x_n|\;\le\;\sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1}-x_k| \;\le\;\sum_{k=n}^{m-1}c^{\,k-1}\,|x_2-x_1| \;=\;|x_2-x_1|\sum_{j=n-1}^{m-2}c^j.
Como 0\le c<1, a série geométrica infinita converge:
\sum_{j=n-1}^{\infty}c^j \;=\; \frac{c^{\,n-1}}{1-c}.
Logo, para todo m>n,
|x_m - x_n|\le\frac{|x_2-x_1|\,c^{\,n-1}}{1-c}.

Passo 6

Dado \varepsilon>0, basta escolher N tal que
\frac{|x_2-x_1|\,c^{\,N-1}}{1-c}<\varepsilon.
Isso é possível porque c^{\,N-1}\to0 quando N\to\infty. Então, sempre que m,n\ge N, garante-se
|x_m - x_n|<\varepsilon,
isto é, \bigl(x_n\bigr) é de Cauchy.

Resposta

a) Toda sequência de Cauchy é limitada, pois tomando \varepsilon=1 obtemos um limite superior comum a todos os seus termos.
b) Se |x_{n+2}-x_{n+1}|\le c\,|x_{n+1}-x_n| com 0\le c<1, então as diferenças sucessivas decrescem geometricamente e a soma telescópica dessas diferenças é controlada por uma série geométrica convergente, provando que \bigl(x_n\bigr) satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

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