(a) Mostre que se \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)= \pm \infty, então \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{f(x)}=0.
(b) Use Parte (a) e os resultados sobre potências para mostrar que
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} x^{-p}=0
quando p=\{1,2,3, \ldots\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que, se
\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty,
então
\lim_{x\to\infty}\frac1{f(x)}=0.
(b) usar esse resultado e o fato de que potências crescem indefinidamente quando o expoente é inteiro positivo para concluir que
\lim_{x\to\pm\infty}x^{-p}=0,\quad p\in\{1,2,3,\dots\}.
O conteúdo envolvido é definição de limite em infinito, propriedades de recíproco e limites de funções potência.

Passo 2

Para (a), partimos da definição de limite para infinito: \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty significa que, dado qualquer M>0, existe X tal que para todo x>X temos \lvert f(x)\rvert > M.
Queremos mostrar \lim_{x\to\infty}1/f(x)=0, ou seja, dado \varepsilon>0, existe X_\varepsilon tal que, para x>X_\varepsilon,
\Bigl|\frac1{f(x)}\Bigr|<\varepsilon.
Escolha M=1/\varepsilon. Pela definição, existe X_\varepsilon com \lvert f(x)\rvert>1/\varepsilon sempre que x>X_\varepsilon. Então
\Bigl|\frac1{f(x)}\Bigr|=\frac1{\lvert f(x)\rvert}<\frac1{1/\varepsilon}=\varepsilon,
o que prova que \lim_{x\to\infty}1/f(x)=0.

Passo 3

Para (b), sabemos das propriedades de potências que, para inteiro p\ge1\): \[\lim_{x\to\infty}x^p=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}x^p= \begin{cases} +\infty,&p\text{ par},\\\\ -\infty,&p\text{ ímpar}. \end{cases}
Em ambos os casos \lim_{x\to\pm\infty}x^p=\pm\infty\], ou seja, \(\lvert x^p\rvert\to\infty. Aplicando o resultado da Parte (a) com f(x)=x^p, obtemos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^p}=0,
que é exatamente \lim_{x\to\pm\infty}x^{-p}=0.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1{f(x)}=0.
(b) \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}x^{-p}=0 para todo p\in\{1,2,3,\dots\}.

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