Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{1-p}}=\left\{\begin{array}{lc} 0 & , \quad p<1 \\ 1 & , \quad p=1 \\ \infty & , \quad p>1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{1-p}}
dependendo do valor de p. O conteúdo envolvido é o comportamento de potências de x quando x\to\infty.

Passo 2

Para simplificar, note que
\frac{1}{x^{1-p}}=x^{-(1-p)}=x^{\,p-1}.
Assim, basta analisar
\lim_{x\to\infty}x^{\,p-1}
em função do expoente k=p-1.

Passo 3

Se p<1 então k=p-1<0. Nesse caso x^{k}=x^{-|k|}=\tfrac{1}{x^{|k|}} e, como \lim_{x\to\infty}x^{|k|}=\infty, segue
\lim_{x\to\infty}x^{\,k} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{|k|}} =0.

Passo 4

Se p=1 então k=p-1=0 e
x^{\,k}=x^{0}=1
para todo x. Logo
\lim_{x\to\infty}x^{\,0}=1.

Passo 5

Se p>1 então k=p-1>0. Nesse caso é conhecida a propriedade
\lim_{x\to\infty}x^{k}=\infty\quad(\text{para }k>0).

Resposta

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{1-p}} =\begin{cases} 0,&p<1,\\\\ 1,&p=1,\\\ \infty,&p>1. \end{cases}

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