Use a definição de " f(x) tende a l quando x tende a ( \pm) \infty "para calcular os seguinte limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{3}+\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}+\operatorname{sen}^{2}(x)}
usando a definição de limite quando x\to\infty. Vamos mostrar que essa expressão tende a 0 aplicando a definição: dado \epsilon>0, devemos encontrar M>0 tal que, para todo x>M, vale
\left|\frac{1}{x^{3}+\operatorname{sen}^{2}(x)}-0\right|<\epsilon.

Passo 2

Observamos que \operatorname{sen}^2(x) está sempre entre 0 e 1. Portanto, para todo x\ge0,
0 \le \operatorname{sen}^{2}(x) \le 1 \quad\Longrightarrow\quad x^3 \le x^3+\operatorname{sen}^{2}(x)\le x^3+1.
Invertendo essas desigualdades (todas positivas), obtemos
0 < \frac{1}{x^3+1} \le \frac{1}{x^3+\operatorname{sen}^2(x)} \le \frac{1}{x^3}.
Em particular,
0 < f(x) \le \frac{1}{x^3} \quad\text{onde}\quad f(x)=\frac{1}{x^3+\operatorname{sen}^2(x)}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de limite. Dado \epsilon>0, queremos garantir
|f(x)-0| < \epsilon.
Mas 0<f(x)\le1/x^3, de modo que basta ter
\frac{1}{x^3}<\epsilon.
Resolvendo para x, basta escolher
M = \sqrt[3]{\frac{1}{\epsilon}}.
Então, se x > M, vem
|f(x)-0| = f(x) \le \frac{1}{x^3} < \frac{1}{M^3} = \epsilon.
Isso prova pela definição que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3+\operatorname{sen}^2(x)} = 0.

Resposta

0

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