Mostre que:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{x}=1
usando apenas a definição formal.

Passo 1

O enunciado pede provar, usando somente a definição formal de limite quando x \to +\infty, que
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{x} = 1.
Informações dadas:
  • A função em questão é f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
  • O objetivo é mostrar que o limite de f(x) quando x tende a +\infty é 1, dispondo apenas da definição formal (aqui o parâmetro livre é x que cresce sem limite).

Passo 2

Vou escrever a definição formal de limite para x\to+\infty e explicar o que cada símbolo significa.
Definição formal: dizemos que
\lim_{x\to +\infty} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0 (qualquer tolerância positiva), existe um número N>0 tal que, sempre que x>N, vale
\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon.
Explicando:
  • \varepsilon é a precisão desejada (quão perto queremos que f(x) fique de L).
  • N é um limite a partir do qual todos os x maiores que N fazem f(x) ficar dentro da distância \varepsilon de L.
  • A prova formal consiste em, dado um \varepsilon>0 arbitrário, fornecer um N em função de \varepsilon e verificar a desigualdade acima.

Passo 3

Calcular a distância entre f(x) e o candidato ao limite L=1. Para x>0 (que é o caso relevante quando x\to+\infty) temos:
\left\lvert \frac{x+1}{x}-1\right\rvert = \left\lvert 1+\frac{1}{x}-1\right\rvert = \left\lvert \frac{1}{x}\right\rvert = \frac{1}{x}.
Portanto a condição que precisamos garantir é
\frac{1}{x}<\varepsilon.

Passo 4

Resolver a desigualdade \dfrac{1}{x}<\varepsilon em termos de x. Para \varepsilon>0 essa desigualdade é equivalente a
x>\frac{1}{\varepsilon}.
Logo, se garantirmos que x>\dfrac{1}{\varepsilon} então |f(x)-1|<\varepsilon.
Para evitar detalhes sobre sinais quando \varepsilon for maior que 1 (mesmo que não seja estritamente necessário), escolho
N=\max\!\left(1,\frac{1}{\varepsilon}\right).
Assim N>0 e, sempre que x>N, temos x>\dfrac{1}{\varepsilon} (porque N\ge \dfrac{1}{\varepsilon}) e portanto \dfrac{1}{x}<\varepsilon.

Passo 5

Fechamento formal do argumento (estrutura “dado \varepsilon existe N tal que…”):
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome N=\max\!\left(1,\dfrac{1}{\varepsilon}\right). Então, para todo x>N vem
\left\lvert \frac{x+1}{x}-1\right\rvert = \frac{1}{x} < \frac{1}{N} \le \varepsilon.
Portanto a condição da definição formal é satisfeita para este N. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, concluímos que
\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x} = 1.

Resposta

1

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