O enunciado pede provar, usando somente a definição formal de limite quando x \to +\infty, que
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{x} = 1.
Informações dadas:
A função em questão é f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
O objetivo é mostrar que o limite de f(x) quando x tende a +\infty é 1, dispondo apenas da definição formal (aqui o parâmetro livre é x que cresce sem limite).
Passo 2
Vou escrever a definição formal de limite para x\to+\infty e explicar o que cada símbolo significa.
Definição formal: dizemos que
\lim_{x\to +\infty} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0 (qualquer tolerância positiva), existe um número N>0 tal que, sempre que x>N, vale
\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon.
Explicando:
\varepsilon é a precisão desejada (quão perto queremos que f(x) fique de L).
N é um limite a partir do qual todos os x maiores que N fazem f(x) ficar dentro da distância \varepsilon de L.
A prova formal consiste em, dado um \varepsilon>0 arbitrário, fornecer um N em função de \varepsilon e verificar a desigualdade acima.
Passo 3
Calcular a distância entre f(x) e o candidato ao limite L=1. Para x>0 (que é o caso relevante quando x\to+\infty) temos: