Usando a definição formal (\varepsilon-M), prove que:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal (\varepsilon\text{-}M), que
\lim_{x\to -\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função em questão é f(x)=2+\dfrac{1}{x}.
  • Queremos o limite quando x tende a -\infty.
  • A afirmação a provar é que o limite é 2.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a definição (\varepsilon\text{-}M) para limites quando x\to -\infty e explicar cada símbolo:
\text{Para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } M\in\mathbb{R} \text{ tal que, para todo } x<M,\; |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicação dos símbolos:
  • \varepsilon>0 é uma tolerância arbitrariamente pequena que fixamos.
  • M é um número real (dependente de \varepsilon) tal que toda vez que x for suficientemente à esquerda (isto é, x<M), o valor f(x) fica a menos de \varepsilon de L.
  • No nosso caso, queremos L=2 e f(x)=2+\dfrac{1}{x}. O objetivo é, dado qualquer \varepsilon>0, encontrar um M que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Calcular a diferença que deve ficar pequena:
\left| \left(2+\frac{1}{x}\right)-2\right| = \left|\frac{1}{x}\right|.
Portanto a condição |f(x)-2|<\varepsilon equivale a
\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon.

Passo 4

Interpretar \left|\dfrac{1}{x}\right| quando x tende a -\infty. Para x<0 vale \left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{|x|}. A desigualdade \dfrac{1}{|x|}<\varepsilon é equivalente a
|x|>\frac{1}{\varepsilon}.
Como estamos no caso x\to -\infty estamos interessados em x negativos com grande valor absoluto. A desigualdade |x|>\dfrac{1}{\varepsilon} para x<0 é a mesma que
x< -\frac{1}{\varepsilon}.

Passo 5

Escolher um M conveniente em função de \varepsilon. A escolha natural, baseada no passo anterior, é
M = -\frac{1}{\varepsilon}.
Agora verificar que essa escolha funciona: se x<M então x< -\dfrac{1}{\varepsilon}, o que implica |x|>\dfrac{1}{\varepsilon} (pois x é negativo), e assim
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}<\varepsilon.
Portanto para todo x<M tem-se \left| \left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\right|<\varepsilon, que é exatamente a condição exigida pela definição (\varepsilon\text{-}M).
Observação técnica: com M=-\dfrac{1}{\varepsilon} não há risco de x=0 porque M<0 e consideramos apenas x<M, logo x é sempre diferente de zero.

Passo 6

Concluímos que para todo \varepsilon>0 existe M=-\dfrac{1}{\varepsilon} tal que, para todo x<M,
\left| \left(2+\frac{1}{x}\right)-2\right|<\varepsilon.
Isso é exatamente a prova, segundo a definição (\varepsilon\text{-}M), de que
\lim_{x\to -\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2.

Resposta

2

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