Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto). O enunciado nos pede para mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como aplicá-lo em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Basicamente, se conseguimos encontrar duas funções que “apertam” a função que queremos analisar e ambas essas funções têm o mesmo limite, então a nossa função também terá esse limite.
Ou seja, se
e
, então
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função:
Queremos mostrar que o limite dessa função é 0 quando
se aproxima de
.
Passo 4
Para isso, vamos encontrar funções g(x,y) e h(x,y) que envolvem
e que sejam maiores ou menores que
.
Primeiro, note que
. Porém, de forma mais simples, já sabemos que
, mas para facilitar, podemos usar:
Mas para simplificar ainda mais, consideremos que
, mas vamos optar por uma abordagem direta.
Passo 5
Vamos usar desigualdades mais simples. Sabemos que
e
. Então, multiplicando essas duas desigualdades:
Então, temos:
Passo 6
Agora, temos que:
Sabemos que
tende a 0 quando
, porque tanto
quanto
vão para 0.
Passo 7
Portanto, pelo Teorema do Confronto, já que a nossa função está “presa” entre 0 e uma função que tende a 0, podemos concluir que:
Resposta
O limite é igual a 0.