Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a) lim (x, y) (0,0) 5 x^2 y^2x^2+y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto). O enunciado nos pede para mostrar que:
lim (x, y) (0,0) 5 x^2 y^2x^2+y^2=0
Para isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como aplicá-lo em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Basicamente, se conseguimos encontrar duas funções que “apertam” a função que queremos analisar e ambas essas funções têm o mesmo limite, então a nossa função também terá esse limite.
Ou seja, se g(x,y) <= f(x,y) <= h(x,y) e lim(x,y)to(0,0) g(x,y) = lim(x,y)to(0,0) h(x,y) = L, então lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = L.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função:
f(x,y) = 5 x^2 y^2x^2+y^2
Queremos mostrar que o limite dessa função é 0 quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 4

Para isso, vamos encontrar funções g(x,y) e h(x,y) que envolvem f(x,y) e que sejam maiores ou menores que f(x,y).
Primeiro, note que x^2 y^2 <= (x^2 + y^22)^2. Porém, de forma mais simples, já sabemos que x^2 y^2 <= (x^2 + y^2)^24, mas para facilitar, podemos usar:
x^2 y^2 <= (x^2 + y^22)^2 <= (x^2 + y^22)^2
Mas para simplificar ainda mais, consideremos que x^2 y^2 <= (x^2 + y^2)^22, mas vamos optar por uma abordagem direta.

Passo 5

Vamos usar desigualdades mais simples. Sabemos que x^2 <= x^2 + y^2 e y^2 <= x^2 + y^2. Então, multiplicando essas duas desigualdades:
x^2 y^2 <= (x^2 + y^2)^2
Então, temos:
5 x^2 y^2x^2 + y^2 <= 5 (x^2 + y^2)^2x^2 + y^2 = 5 (x^2 + y^2)

Passo 6

Agora, temos que:
0 <= 5 x^2 y^2x^2 + y^2 <= 5 (x^2 + y^2)
Sabemos que 5 (x^2 + y^2) tende a 0 quando (x,y) to (0,0), porque tanto x^2 quanto y^2 vão para 0.

Passo 7

Portanto, pelo Teorema do Confronto, já que a nossa função está “presa” entre 0 e uma função que tende a 0, podemos concluir que:
lim (x, y) (0,0) 5 x^2 y^2x^2+y^2=0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados