Calcule lim (x, y) (1,-1) x y^2+1x^2 y+2 x+6, caso o limite exista.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis f(x,y)=xy^2+1x^2y+2x+6 quando (x,y)to(1,-1). O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar a substituição direta, desde que o denominador não se anule.

Passo 2

Vamos avaliar o numerador e o denominador em (1,-1). O numerador é
xy^2+1
e, substituindo x=1 e y=-1, temos
1cdot(-1)^2+1=1+1=2

Passo 3

O denominador é
x^2y+2x+6
e, substituindo, obtemos
1^2cdot(-1)+2cdot1+6=-1+2+6=7

Passo 4

Como o denominador dá 7, que é diferente de zero, a função é contínua em (1,-1) e o limite existe e coincide com o valor da função no ponto.

Resposta

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