Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: f(x)=1raizx-1+1x-5.

Passo 1

Temos a função f(x)=1raizx-1+1x-5. O objetivo é encontrar o domínio (os x que não geram raiz de número negativo nem divisão por zero) e a imagem (todos os valores que f(x) pode assumir).

Passo 2

Para o termo 1raizx-1 precisamos de x-1>0 (radicando positivo e denominador não nulo), ou seja x>1. Para o termo 1x-5 exigimos xneq5. Juntando essas condições, o domínio é
(1,5)cup(5,infty).

Passo 3

Agora vamos estudar a imagem no intervalo (1,5). À medida que xto1^+, temos raizx-1to0^+ e então 1/raizx-1to+infty enquanto 1/(x-5) permanece finito e negativo, logo f(x)to+infty. Quando xto5^-, o termo 1/(x-5)to-infty domina e f(x)to-infty. Como f é contínua em (1,5), ela atinge todo valor real nesse intervalo, ou seja a imagem em (1,5) é R.

Passo 4

No intervalo (5,infty), conforme xto5^+ o termo 1/(x-5)to+infty faz f(x)to+infty. Quando xto+infty, tanto 1/raizx-1 quanto 1/(x-5) tendem a zero, então f(x)to0^+. Pela continuidade em (5,infty), a imagem nesse pedaço é (0,infty).

Passo 5

Unindo as imagens de cada parte, temos Rcup(0,infty)=R. Portanto a imagem final de f é R.

Resposta

Domínio: (1,5)cup(5,infty) Imagem: R.

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