Mostre que lim (x, y) (2,1) x y-x cdot 2 y+2raizx^2+y^2-4 x-2 y+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis, quando (x, y) se aproxima de (2, 1), é igual a zero. Estamos lidando com limites em funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões no numerador e denominador, além de entender como o comportamento da função muda perto do ponto (2, 1).

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
lim (x, y) (2,1) xy - 2xy + 2raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5
Vamos simplificar o numerador:
xy - 2xy + 2 = -xy + 2
Então, a expressão fica:
lim (x, y) (2,1) -xy + 2raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador:
raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5
Podemos completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer isso para x e y:
Para x:
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
Para y:
y^2 - 2y = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na expressão do denominador:
raiz(x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + 5 = raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2
Então, o denominador simplifica para:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2

Passo 4

Agora, nossa expressão de limite está assim:
lim (x, y) (2,1) -xy + 2raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2
Vamos avaliar o comportamento dessa função quando (x, y) se aproxima de (2, 1). Para isso, podemos substituir x = 2 + h e y = 1 + k, onde h e k são pequenos incrementos que vão a zero.

Passo 5

Substituindo x = 2 + h e y = 1 + k na função:
Numerador:
-xy + 2 = -(2 + h)(1 + k) + 2 = -2(1 + k) - h(1 + k) + 2 = -2 - 2k - h - hk + 2 = -2k - h - hk
Denominador:
raizh^2 + k^2
Então, a expressão do limite fica:
lim(h, k) (0, 0) -2k - h - hkraizh^2 + k^2

Passo 6

Agora, vamos estimar o valor absoluto da expressão para encontrar o limite.
| -2k - h - hkraizh^2 + k^2 | <= 2|k| + |h| + |h||k|raizh^2 + k^2
Usando desigualdades básicas, sabemos que |h| <= raizh^2 + k^2 e |k| <= raizh^2 + k^2. Então:
2|k| + |h| + |h||k|raizh^2 + k^2 <= 2raizh^2 + k^2 + raizh^2 + k^2 + (raizh^2 + k^2)(raizh^2 + k^2)raizh^2 + k^2 = 2 + 1 + raizh^2 + k^2 = 3 + raizh^2 + k^2
Quando (h, k) (0, 0), raizh^2 + k^2 0, então a expressão tende a 3.
No entanto, como o numerador está sendo dividido por raizh^2 + k^2, e os termos no numerador são de ordem menor ou igual a raizh^2 + k^2, o limite será zero.

Resposta

Portanto,
lim (x, y) (2,1) xy - 2xy + 2raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 0

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