Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis, quando se aproxima de , é igual a zero. Estamos lidando com limites em funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões no numerador e denominador, além de entender como o comportamento da função muda perto do ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
Podemos completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer isso para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na expressão do denominador:
Então, o denominador simplifica para:
Passo 4
Agora, nossa expressão de limite está assim:
Vamos avaliar o comportamento dessa função quando se aproxima de . Para isso, podemos substituir e , onde e são pequenos incrementos que vão a zero.
Passo 5
Substituindo e na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 6
Agora, vamos estimar o valor absoluto da expressão para encontrar o limite.
Usando desigualdades básicas, sabemos que |h| <= raizh^2 + k^2 e |k| <= raizh^2 + k^2. Então:
Quando (h, k) (0, 0), raizh^2 + k^2 0, então a expressão tende a 3.
No entanto, como o numerador está sendo dividido por raizh^2 + k^2, e os termos no numerador são de ordem menor ou igual a raizh^2 + k^2, o limite será zero.