Suponha que g(r, theta)=f(x, y), com x=r cos theta e y=r sen theta, com f(x, y) diferenciável em R^2. Sejam u=cos theta i+sen theta j e v=-sen theta i+cos theta j. Mostre que
partial gpartial r(r, theta)=partial fpartial u(x, y) e 1r partial gpartial theta(r, theta)=partial fpartial v(x, y)

Passo 1

Resumo: A gente tem a função g(r,theta)=f(x,y) com x=rcostheta e y=rsintheta, sendo f diferenciável. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de g em r e theta correspondem às derivadas direcionais de f ao longo dos vetores u=costheta,i+sintheta,j e v=-sintheta,i+costheta,j. Vamos usar a regra da cadeia e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Para calcular partial g/partial r, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

partial gpartial r=partial fpartial x,partial xpartial r+partial fpartial y,partial ypartial r
Como x=rcostheta e y=rsintheta, temos
partial xpartial r=costheta, partial ypartial r=sintheta
Logo,

Passo 4

partial gpartial r=fxcostheta+fysintheta

Passo 5

Note que pelo conceito de derivada direcional de f no ponto (x,y) ao longo do vetor u=costheta,i+sintheta,j temos
partial fpartial u=fxcostheta+fysintheta,
o que coincide com partial g/partial r.

Passo 6

Para partial g/partialtheta, de novo pela regra da cadeia:

Passo 7

partial gpartialtheta=fx,partial xpartialtheta+fy,partial ypartialtheta
Como
partial xpartialtheta=-rsintheta, partial ypartialtheta=rcostheta,
tenmos

Passo 8

partial gpartialtheta=-r fxsintheta+r fycostheta = rl(-fxsintheta+fycosthetar)

Passo 9

De forma análoga, a derivada direcional de f ao longo de v=-sintheta,i+costheta,j é
partial fpartial v=-fxsintheta+fycostheta
Logo

Passo 10

1rpartial gpartialtheta=-fxsintheta+fycostheta=partial fpartial v

Resposta

Ficamos com
$$\frac{\partial g}{\partial r}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial u}(x,y),\quad
\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial\theta}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial v}(x,y).$$

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