Suponha que
e
diferenciável em
. Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
Resumo: A gente tem a função
com
e
, sendo
diferenciável. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de
em
e
correspondem às derivadas direcionais de
ao longo dos vetores
e
. Vamos usar a regra da cadeia e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Para calcular
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Como
e
, temos
Logo,
Passo 4
Passo 5
Note que pelo conceito de derivada direcional de
no ponto
ao longo do vetor
temos
o que coincide com
.
Passo 6
Para
, de novo pela regra da cadeia:
Passo 7
Como
tenmos
Passo 8
Passo 9
De forma análoga, a derivada direcional de
ao longo de
é
Logo
Passo 10
Resposta
Ficamos com
$$\frac{\partial g}{\partial r}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial u}(x,y),\quad
\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial\theta}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial v}(x,y).$$