Mostre que lim (x, y) (2,1) x y-x-2 y+2raizx^2+y^2-4 x-2 y+5=0.

Passo 1

No enunciado temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis e mostrar que vale zero. Isso pertence ao conteúdo de limites em várias variáveis e vamos usar fatoração e completar quadrados para simplificar a expressão.

Passo 2

Observe o numerador: temos
x y - x - 2y + 2 = (x-2)(y-1)
Isso é só fatorar em comum.

Passo 3

Agora estudamos o denominador. Note que
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = (x-2)^2 + (y-1)^2,
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raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = raiz(x-2)^2 + (y-1)^2

Passo 4

Fazendo a mudança de variáveis
(x-2)(y-1)raiz(x-2)^2 + (y-1)^2 = h,kraizh^2 + k^2
a expressão fica

Passo 5

Para mostrar que isso tende a zero quando (h,k)to(0,0), usamos a desigualdade
|h,k| <= h^2 + k^22
Daí
|h,kraizh^2 + k^2| <= h^2 + k^22raizh^2 + k^2 = raizh^2 + k^22,
e como raizh^2 + k^2to 0, o limite é zero.

Resposta

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