Dada a função
f(x)=2 x, 0
a) Mostre que essa função é uma densidade.
b) Calcule E(X) e Var(X)
c) Calcule P(X<0,3)

Passo 1

Temos a função f(x)=2x definida em 0. O conteúdo da matéria é densidade de probabilidade contínua; vamos precisar usar integrais para verificar a normalização, calcular momentos (valor esperado e segundo momento) e encontrar probabilidades parciais.

Passo 2

Para mostrar que f(x) é uma densidade, verificamos duas condições: não-negatividade e integral unitária. Primeiro, f(x)=2x>=0 em 0. Depois, calculamos a integral sobre todo o domínio:
integral0^12x,dx = [x^2]0^1 = 1^2 - 0 = 1

Passo 3

Para calcular o valor esperado E(X), usamos a definição de momento de primeira ordem:
E(X) = integral0^1 x,f(x),dx = integral0^1 xcdot2x,dx = 2integral0^1x^2,dx = 2[x^33]0^1 = 2cdot13 = 23

Passo 4

Para a variância, primeiro calculamos E(X^2) (segundo momento):
E(X^2) = integral0^1 x^2,f(x),dx = integral0^1 x^2cdot2x,dx = 2integral0^1x^3,dx = 2[x^44]0^1 = 2cdot14 = 12
Em seguida,
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 12 - gl(23gr)^2 = 12 - 49 = 9-818 = 118

Passo 5

Para calcular P(X<0,3), integramos a densidade de 0 até 0,3:
P(X<0,3) = integral0^0.32x,dx = [x^2]0^0.3 = (0.3)^2 = 0.09

Resposta

E(X)=2/3, Var(X)=1/18, P(X<0,3)=0.09

Exercícios relacionados