Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis valendo
ao ponto
é zero. Isso cai em conteúdo de limites em
, e vamos usar uma desigualdade estilo “aperfeiçoamento” (squeeze theorem) para chegar lá.
Passo 2
Definimos
. Observe que
e
. Então
[ \frac{|x3y|}{x2+y^2} ;=; \frac{|x|3,|y|}{r2} ;\le; \frac{r3,r}{r2} ;=; r^2 ],
[ \frac{|x3y|}{x2+y^2} ;=; \frac{|x|3,|y|}{r2} ;\le; \frac{r3,r}{r2} ;=; r^2 ],
Passo 3
Como
tende a zero quando
, temos
. Logo, por aperto,
[ 0 \le \bigl|\frac{x3y}{x2+y^2}\bigr| \le r^2 \to 0 ],
e isso mostra que conforme
.
[ 0 \le \bigl|\frac{x3y}{x2+y^2}\bigr| \le r^2 \to 0 ],
e isso mostra que
Resposta
0