Mostre que lim (x, y) (0,0) x^3 yx^2+y^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis valendo f(x,y)=x^3yx^2+y^2 ao ponto (0,0) é zero. Isso cai em conteúdo de limites em R^2, e vamos usar uma desigualdade estilo “aperfeiçoamento” (squeeze theorem) para chegar lá.

Passo 2

Definimos r=raizx^2+y^2. Observe que |x|<= r e |y|<= r. Então
[ \frac{|x3y|}{x2+y^2} ;=; \frac{|x|3,|y|}{r2} ;\le; \frac{r3,r}{r2} ;=; r^2 ],

Passo 3

Como r=raizx^2+y^2 tende a zero quando (x,y)to(0,0), temos r^2to0. Logo, por aperto,
[ 0 \le \bigl|\frac{x3y}{x2+y^2}\bigr| \le r^2 \to 0 ],
e isso mostra que x^3yx^2+y^2to0 conforme (x,y)to(0,0).

Resposta

0

Exercícios relacionados