Verifique se a função g é contínua em (0,0), em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=x^2-2 y^2x^2+y^2
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa verificar se a função $ g $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função dada é:
g
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ g(x, y) $ é contínua em $ (a, b) $ se:
  1. $ g(a, b) $ está definida.
  2. O limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ existe.
  3. O limite é igual a $ g(a, b) $.
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em $ (0,0) $.

Passo 3

Vamos verificar se $ g(0, 0) $ está definida. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na função:
g(0, 0)
Isso é uma forma indeterminada, ou seja, $ g(0, 0) $ não está definida. Portanto, já podemos dizer que a função não é contínua em $ (0,0) $, mas vamos verificar o limite para confirmar.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Para isso, podemos usar diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Vamos experimentar dois caminhos:
  1. Caminho 1: $ y = 0 $
    Substituindo $ y = 0 $ na função:
    g(x, y)
    Então, quando $ y = 0 $, o limite é 1.
  2. Caminho 2: $ y = x $
    Substituindo $ y = x $ na função:
    (x, y)
    Nesse caso, o limite é (0,0) .

Passo 5

Como obtivemos limites diferentes ao abordar $ (0,0) $ por caminhos distintos (1 e (0,0) ), isso significa que o limite geral de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ não existe.

Resposta

A função $ g $ não é contínua em $ (0,0) $, pois o limite não existe nesse ponto.

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