Verifique se a função
é contínua em
, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa verificar se a função $ g $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função dada é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ g(x, y) $ é contínua em $ (a, b) $ se:
- $ g(a, b) $ está definida.
- O limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ existe.
- O limite é igual a $ g(a, b) $.
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em $ (0,0) $.
Passo 3
Vamos verificar se $ g(0, 0) $ está definida. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na função:
Isso é uma forma indeterminada, ou seja, $ g(0, 0) $ não está definida. Portanto, já podemos dizer que a função não é contínua em $ (0,0) $, mas vamos verificar o limite para confirmar.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Para isso, podemos usar diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Vamos experimentar dois caminhos:
-
Caminho 1: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na função:Então, quando $ y = 0 $, o limite é 1. -
Caminho 2: $ y = x $
Substituindo $ y = x $ na função:Nesse caso, o limite é.
Passo 5
Como obtivemos limites diferentes ao abordar $ (0,0) $ por caminhos distintos (1 e
), isso significa que o limite geral de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ não existe.
Resposta
A função $ g $ não é contínua em $ (0,0) $, pois o limite não existe nesse ponto.