Considere a equação em x e y :
k=k x^2+y^2
Para quais valores de k a equação representa uma hipérbole?

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação em k = k,x^2 + y^2 e :
O assunto aqui é “seções cônicas” e, mais especificamente, identificar quando isso vira uma hipérbole. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Colocar a equação na forma geral de uma cônica .
  2. Usar o critério de classificação de cônicas (discriminante ) ou olhar os sinais dos coeficientes de e .

Passo 2

Primeiro, bora reescrever a equação num formato padrão. A gente tem:
k = k,x^2 + y^2 Longrightarrow k,x^2 + y^2 - k = 0
Comparando com , aqui:
  • (não tem termo )
  • e os outros termos lineares já são zero.

Passo 3

Agora usa o critério de discriminante para cônicas sem termo De:
-4k > 0 Long<=ftrightarrow k < 0
A regra diz:
  • Se , é hipérbole.
  • Se , é elipse (ou círculo, se ).
Aqui quando

Passo 4

Pra fechar: a gente também precisa de senão não tem curva, mas isso já fica implícito ao exigir hipérbole. O ponto principal é que o discriminante só fica positivo se .

Resposta

A equação representa uma hipérbole exatamente quando
boxedk<0

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