Considere a equação em
e
:
Para quais valores de
a equação representa uma hipérbole?
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação em
e
:
O assunto aqui é “seções cônicas” e, mais especificamente, identificar quando isso vira uma hipérbole. Para resolver a gente vai precisar:
- Colocar a equação na forma geral de uma cônica
. - Usar o critério de classificação de cônicas (discriminante
) ou olhar os sinais dos coeficientes de e .
Passo 2
Primeiro, bora reescrever a equação num formato padrão. A gente tem:
Comparando com
, aqui:
-
-
(não tem termo ) -
- e os outros termos lineares já são zero.
Passo 3
Agora usa o critério de discriminante para cônicas sem termo
:
A regra diz:
- Se
, é hipérbole. - Se
, é elipse (ou círculo, se ).
Aqui
quando
Passo 4
Pra fechar: a gente também precisa de
senão não tem curva, mas isso já fica implícito ao exigir hipérbole. O ponto principal é que o discriminante só fica positivo se
.
Resposta
A equação representa uma hipérbole exatamente quando