Mostre que
\lim _{z \rightarrow-1} \frac{i z+3}{z+1}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando z se aproxima de -1 no plano complexo, a função
f(z)=\frac{i\,z+3}{z+1}
tende a \infty. O conteúdo aqui é o limite no plano complexo que vale \infty, ou seja, o módulo de f(z) cresce sem limite à medida que z\to -1.

Passo 2

Vamos checar o valor do numerador em z=-1:
i(-1)+3 = -\,i+3 = 3 - i.
Como 3-i\neq 0, concluímos que o numerador tende a uma constante não nula quando z\to -1. Logo, num entorno de -1 ele não fica arbitrariamente pequeno.

Passo 3

Escrevemos o módulo de f(z):
\bigl|f(z)\bigr| = \left|\frac{i\,z+3}{z+1}\right| = \frac{\bigl|i\,z+3\bigr|}{\bigl|z+1\bigr|}.
Para mostrar que \lim_{z\to -1}f(z)=\infty usamos a definição: dado qualquer M>0, devemos encontrar \delta>0 tal que, se 0<|z+1|<\delta, então \bigl|f(z)\bigr|>M.

Passo 4

Como \lim_{z\to -1}|i\,z+3| = |3-i|>0, existe raio \rho>0 tal que, para |z+1|<\rho,
\bigl|i\,z+3\bigr| \;>\;\frac{|3-i|}{2}.
Escolhendo
\delta = \min\Bigl\{\rho,\;\frac{|3-i|}{2M}\Bigr\},
se 0<|z+1|<\delta então
\bigl|f(z)\bigr| \;=\; \frac{\bigl|i\,z+3\bigr|}{|z+1|} \;>\; \frac{\frac{|3-i|}{2}}{|z+1|} \;>\; \frac{\frac{|3-i|}{2}}{\delta} \;\ge\; \frac{\frac{|3-i|}{2}}{\frac{|3-i|}{2M}} \;=\; M.
Isso mostra que |f(z)| pode ser tornado maior que qualquer M quando z está suficientemente próximo de -1. Portanto
\lim_{z\to -1}f(z)=\infty.

Resposta

\infty

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