O enunciado pede para mostrar que, quando z se aproxima de -1 no plano complexo, a função
f(z)=\frac{i\,z+3}{z+1}
tende a \infty. O conteúdo aqui é o limite no plano complexo que vale \infty, ou seja, o módulo de f(z) cresce sem limite à medida que z\to -1.
Passo 2
Vamos checar o valor do numerador em z=-1:
i(-1)+3 = -\,i+3 = 3 - i.
Como 3-i\neq 0, concluímos que o numerador tende a uma constante não nula quando z\to -1. Logo, num entorno de -1 ele não fica arbitrariamente pequeno.
Para mostrar que \lim_{z\to -1}f(z)=\infty usamos a definição: dado qualquer M>0, devemos encontrar \delta>0 tal que, se 0<|z+1|<\delta, então \bigl|f(z)\bigr|>M.
Passo 4
Como \lim_{z\to -1}|i\,z+3| = |3-i|>0, existe raio \rho>0 tal que, para |z+1|<\rho,