Mostre que
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{2 z+i}{z+1}=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{z\to\infty}\frac{2z+i}{z+1}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito no plano complexo e vamos usar manipulação algébrica junto com propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos o quociente dividindo numerador e denominador por z (supondo z\neq0):
\frac{2z+i}{z+1} \;=\;\frac{2 + \frac{i}{z}}{1 + \frac{1}{z}}.

Passo 3

Quando z\to\infty (isto é, \lvert z\rvert\to\infty), temos
\frac{i}{z}\;\longrightarrow\;0 \quad\text{e}\quad \frac{1}{z}\;\longrightarrow\;0,
pois o inverso de um número que cresce sem limite tende a zero.

Passo 4

Como o denominador tende a 1\neq0, podemos aplicar a regra do quociente de limites: se g(z)\to L e h(z)\to M\neq0, então
\frac{g(z)}{h(z)} \;\longrightarrow\;\frac{L}{M}.
Aqui g(z)=2+\tfrac{i}{z}\to2 e h(z)=1+\tfrac{1}{z}\to1, logo
\lim_{z\to\infty}\frac{2 + \frac{i}{z}}{1 + \frac{1}{z}} =\frac{2}{1}=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados