Mostre que
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{2 z^{3}-1}{z^{2}+1}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{z\to\infty}\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1}.
O conteúdo aqui é limite no infinito de uma função racional. Para resolver, vamos usar a comparação de graus dos polinômios e depois detalhar dividindo termos para ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Em uma função racional \tfrac{P(z)}{Q(z)}, se \deg P>\deg Q, então o limite em z\to\infty diverge para \pm\infty. Aqui \deg(2z^{3}-1)=3 e \deg(z^{2}+1)=2, logo
\lim_{z\to\infty}\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1}=\pm\infty.
Para decidir o sinal, olhamos o termo dominante:
\frac{2z^{3}}{z^{2}}=2z,
que, para z\to+\infty, vai a +\infty. Portanto o limite é +\infty.

Passo 3

Para reforçar, dividimos numerador e denominador por z^{2}:
\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1} = \frac{2z - \tfrac{1}{z^{2}}}{1 + \tfrac{1}{z^{2}}}.
À medida que z\to\infty, os termos \tfrac{1}{z^{2}} tendem a zero, ficando
\frac{2z - 0}{1 + 0}=2z,
e \lim_{z\to\infty}2z=+\infty.

Resposta

\infty

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