Mostre que
e existir um número positivo
tal que
, qualquer que seja o ponto
de alguma vizinhança de
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue foi retirado do enunciado):
- Dadas duas funções complexas
e definidas em uma vizinhança de . - Sabe-se que
. - Existe um número positivo
tal que para todo em alguma vizinhança de (ou seja, existe tal que sempre que ). - O que se pede: mostrar que
.
Passo 2
Relembrando a definição de limite (essencial para o argumento): dizer que
significa que
Aqui
é uma tolerância pequena que eu escolho, e
é a correspondência dada pela definição de limite. No nosso caso vamos manipular
convenientemente para controlar o produto
.
Passo 3
Uma propriedade básica de valores complexos (que vale também para números reais) é a multiplicatividade da norma:
Isso nos diz que controlar
pode ser feito controlando
e usando um majorante para
. No problema temos exatamente um majorante:
numa vizinhança de
.
Passo 4
Estratégia do prova (curta): dado
queremos produzir um
tal que, sempre que
, então
. Usaremos a desigualdade
e a definição do limite de
para forçar
.
Passo 5
Detalhe construtivo. Seja um
arbitrário. Como
, considere o número positivo
. Pela hipótese
, existe
tal que
Também há
(pela hipótese sobre
) tal que
sempre que
. Definimos
Assim, para
garantimos simultaneamente
e
.
Passo 6
Agora fazemos a estimação final. Se
então, usando as desigualdades anteriores,
Portanto para todo
encontramos
(construído acima) tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de
.
Passo 7
Observação rápida sobre o caso extremo: se
então
na vizinhança, ou seja,
é identicamente zero nessa vizinhança e o produto é zero trivialmente; a prova acima funciona também (bastaria notar que
não é necessária no caso
). Mas o enunciado já assume
.
Passo 8
Conclusão limpa: usando a definição
-
do limite e a desigualdade multiplicativa da norma complexa, mostramos rigorosamente que o produto tende a zero.