Mostre que
\lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z) g(z)=0 \text { se } \lim _{z \rightarrow \pm \infty} f(z)=0
e existir um número positivo M tal que |g(z)| \leq M, qualquer que seja o ponto z de alguma vizinhança de z_{0}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue foi retirado do enunciado):
  • Dadas duas funções complexas f e g definidas em uma vizinhança de z_{0}.
  • Sabe-se que \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=0.
  • Existe um número positivo M>0 tal que |g(z)|\le M para todo z em alguma vizinhança de z_{0} (ou seja, existe \delta_{g}>0 tal que |g(z)|\le M sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta_{g}).
  • O que se pede: mostrar que \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)g(z)=0.

Passo 2

Relembrando a definição de limite (essencial para o argumento): dizer que \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=0 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta_{f}>0\text{ tal que, sempre que }0<|z-z_{0}|<\delta_{f}\text{, tem-se }|f(z)-0|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é uma tolerância pequena que eu escolho, e \delta_{f} é a correspondência dada pela definição de limite. No nosso caso vamos manipular \varepsilon convenientemente para controlar o produto f(z)g(z).

Passo 3

Uma propriedade básica de valores complexos (que vale também para números reais) é a multiplicatividade da norma:
|f(z)g(z)|=|f(z)|\,|g(z)|.
Isso nos diz que controlar |f(z)g(z)| pode ser feito controlando |f(z)| e usando um majorante para |g(z)|. No problema temos exatamente um majorante: |g(z)|\le M numa vizinhança de z_{0}.

Passo 4

Estratégia do prova (curta): dado \varepsilon>0 queremos produzir um \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, então |f(z)g(z)-0|<\varepsilon. Usaremos a desigualdade
|f(z)g(z)|\le M\,|f(z)|
e a definição do limite de f para forçar M|f(z)|<\varepsilon.

Passo 5

Detalhe construtivo. Seja um \varepsilon>0 arbitrário. Como M>0, considere o número positivo \varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{M}. Pela hipótese \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=0, existe \delta_{f}>0 tal que
0<|z-z_{0}|<\delta_{f}\quad\Rightarrow\quad |f(z)|<\varepsilon'.
Também há \delta_{g}>0 (pela hipótese sobre g) tal que |g(z)|\le M sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta_{g}. Definimos
\delta=\min(\delta_{f},\delta_{g}).
Assim, para 0<|z-z_{0}|<\delta garantimos simultaneamente |f(z)|<\varepsilon' e |g(z)|\le M.

Passo 6

Agora fazemos a estimação final. Se 0<|z-z_{0}|<\delta então, usando as desigualdades anteriores,
|f(z)g(z)|=|f(z)|\,|g(z)|\le |f(z)|\,M < \varepsilon' M = \frac{\varepsilon}{M}\,M = \varepsilon.
Portanto para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 (construído acima) tal que 0<|z-z_{0}|<\delta implica |f(z)g(z)-0|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)g(z)=0.

Passo 7

Observação rápida sobre o caso extremo: se M=0 então |g(z)|\le 0 na vizinhança, ou seja, g é identicamente zero nessa vizinhança e o produto é zero trivialmente; a prova acima funciona também (bastaria notar que \varepsilon'=\varepsilon/ M não é necessária no caso M=0). Mas o enunciado já assume M>0.

Passo 8

Conclusão limpa: usando a definição \varepsilon- \delta do limite e a desigualdade multiplicativa da norma complexa, mostramos rigorosamente que o produto tende a zero.

Resposta

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