Sejam u=(a1, b1, c1) e v=(a2, b2, c2) dois vetores no R^3. Definimos o produto vetorial de u por v, que se indica por u wed>= v, por
u wed>= v=|ccc i & j & k a1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 |=(b1 c2-c1 b2) i+(a2 c1-a1 c2) j+(a1 b2-a2 b1) k
onde i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1). Verifique que:
(a) u wed>= v=-v wed>= u;
(b) u wed>= v é ortogonal a u e a v;
© u wed>=(v+w)=u wed>= v+u wed>= w, onde w=(a3, b3, c3);
(d) (u+v) wed>= w=u wed>= w+v wed>= w.

Passo 1

Então, temos dois vetores no espaço tridimensional, u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2). O exercício pede para verificar algumas propriedades do produto vetorial, que é uma forma de combinar dois vetores para obter outro vetor que tem algumas características legais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e as propriedades que ele possui, como anti-commutatividade, ortogonalidade e distributividade.

Passo 2

(a) Mostrar que u wed>= v = -v wed>= u
Vamos começar calculando o produto vetorial u wed>= v usando a fórmula dada:
u wed>= v = i & j & k a1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 = (b1c2 - c1b2)i + (a2c1 - a1c2)j + (a1b2 - a2b1)k
Agora, vamos calcular v wed>= u:
v wed>= u = i & j & k a2 & b2 & c2 a1 & b1 & c1 = (b2c1 - c2b1)i + (a1c2 - a2c1)j + (a2b1 - a1b2)k
Observamos que cada componente de v wed>= u é o negativo correspondente de u wed>= v:
  • b2c1 - c2b1 = - (b1c2 - c1b2)
  • a1c2 - a2c1 = - (a2c1 - a1c2)
  • a2b1 - a1b2 = - (a1b2 - a2b1)
Portanto, v wed>= u = -u wed>= v.

Passo 3

(b) Mostrar que u wed>= v é ortogonal a u e a v
Para provar que dois vetores são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno entre eles é zero.
Primeiro, vamos calcular o produto interno de u wed>= v com u:
u cdot (u wed>= v) = a1(b1c2 - c1b2) + b1(a2c1 - a1c2) + c1(a1b2 - a2b1)
Expandindo os termos:
= a1b1c2 - a1c1b2 + b1a2c1 - b1a1c2 + c1a1b2 - c1a2b1
Observamos que cada termo positivo tem um termo equivalente negativo:
  • a1b1c2 cancela com -b1a1c2
  • -a1c1b2 cancela com c1a1b2
  • b1a2c1 cancela com -c1a2b1
Assim, u cdot (u wed>= v) = 0.
Agora, vamos calcular o produto interno de u wed>= v com v:
v cdot (u wed>= v) = a2(b1c2 - c1b2) + b2(a2c1 - a1c2) + c2(a1b2 - a2b1)
Expandindo os termos:
= a2b1c2 - a2c1b2 + b2a2c1 - b2a1c2 + c2a1b2 - c2a2b1
Novamente, cada termo positivo tem um termo equivalente negativo:
  • a2b1c2 cancela com -c2a2b1
  • -a2c1b2 cancela com b2a2c1
  • -b2a1c2 cancela com c2a1b2
Assim, v cdot (u wed>= v) = 0.
Portanto, u wed>= v é ortogonal a ambos os vetores u e v.

Passo 4

© Mostrar que u wed>= (v + w) = u wed>= v + u wed>= w, onde w = (a3, b3, c3)
Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
u wed>= (v + w) = u wed>= (a2 + a3, b2 + b3, c2 + c3)
Usando a definição do produto vetorial:
u wed>= (v + w) &= i & j & k a1 & b1 & c1 a2 + a3 & b2 + b3 & c2 + c3 &= [b1(c2 + c3) - c1(b2 + b3)]i + [a2 + a3)c1 - a1(c2 + c3)]j + [a1(b2 + b3) - (a2 + a3)b1]k
Distribuindo os termos:
= (b1c2 + b1c3 - c1b2 - c1b3)i + (a2c1 + a3c1 - a1c2 - a1c3)j + (a1b2 + a1b3 - a2b1 - a3b1)k
Agora, vamos calcular u wed>= v + u wed>= w:
u wed>= v = (b1c2 - c1b2)i + (a2c1 - a1c2)j + (a1b2 - a2b1)k
u wed>= w = (b1c3 - c1b3)i + (a3c1 - a1c3)j + (a1b3 - a3b1)k
Somando os dois:
u wed>= v + u wed>= w = (b1c2 - c1b2 + b1c3 - c1b3)i + (a2c1 - a1c2 + a3c1 - a1c3)j + (a1b2 - a2b1 + a1b3 - a3b1)k
Comparando com o que obtivemos para u wed>= (v + w), vemos que são iguais. Portanto, u wed>= (v + w) = u wed>= v + u wed>= w.

Passo 5

(d) Mostrar que (u + v) wed>= w = u wed>= w + v wed>= w
Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
(u + v) wed>= w = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2) wed>= (a3, b3, c3)
Usando a definição do produto vetorial:
(u + v) wed>= w &= i & j & k a1 + a2 & b1 + b2 & c1 + c2 a3 & b3 & c3 &= [(b1 + b2)c3 - (c1 + c2)b3]i + [(a3(c1 + c2) - (a1 + a2)c3)]j + [(a1 + a2)b3 - a3(b1 + b2)]k
Distribuindo os termos:
= (b1c3 + b2c3 - c1b3 - c2b3)i + (a3c1 + a3c2 - a1c3 - a2c3)j + (a1b3 + a2b3 - a3b1 - a3b2)k
Agora, vamos calcular u wed>= w + v wed>= w:
u wed>= w = (b1c3 - c1b3)i + (a3c1 - a1c3)j + (a1b3 - a3b1)k
v wed>= w = (b2c3 - c2b3)i + (a3c2 - a2c3)j + (a2b3 - a3b2)k
Somando os dois:
u wed>= w + v wed>= w = (b1c3 - c1b3 + b2c3 - c2b3)i + (a3c1 - a1c3 + a3c2 - a2c3)j + (a1b3 - a3b1 + a2b3 - a3b2)k
Comparando com o que obtivemos para (u + v) wed>= w, vemos que são iguais. Portanto, (u + v) wed>= w = u wed>= w + v wed>= w.

Resposta

Todas as propriedades foram verificadas com sucesso:
(a) u wed>= v = -v wed>= u;
(b) u wed>= v é ortogonal a u e a v;
© u wed>= (v + w) = u wed>= v + u wed>= w;
(d) (u + v) wed>= w = u wed>= w + v wed>= w.

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