Então, temos dois vetores no espaço tridimensional, u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2). O exercício pede para verificar algumas propriedades do produto vetorial, que é uma forma de combinar dois vetores para obter outro vetor que tem algumas características legais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e as propriedades que ele possui, como anti-commutatividade, ortogonalidade e distributividade.
Passo 2
(a) Mostrar que u wed>= v = -v wed>= u
Vamos começar calculando o produto vetorial u wed>= v usando a fórmula dada:
u wed>= v = i & j & k a1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 = (b1c2 - c1b2)i + (a2c1 - a1c2)j + (a1b2 - a2b1)k
Agora, vamos calcular v wed>= u:
v wed>= u = i & j & k a2 & b2 & c2 a1 & b1 & c1 = (b2c1 - c2b1)i + (a1c2 - a2c1)j + (a2b1 - a1b2)k
Observamos que cada componente de v wed>= u é o negativo correspondente de u wed>= v:
b2c1 - c2b1 = - (b1c2 - c1b2)
a1c2 - a2c1 = - (a2c1 - a1c2)
a2b1 - a1b2 = - (a1b2 - a2b1)
Portanto, v wed>= u = -u wed>= v.
Passo 3
(b) Mostrar que u wed>= v é ortogonal a u e a v
Para provar que dois vetores são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno entre eles é zero.
Primeiro, vamos calcular o produto interno de u wed>= v com u:
u cdot (u wed>= v) = a1(b1c2 - c1b2) + b1(a2c1 - a1c2) + c1(a1b2 - a2b1)