Mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z+x zx^2+y^2+z^2

Passo 1

Estamos diante de um limite de função de várias variáveis: queremos estudar
lim(x,y,z)to(0,0,0)xy+yz+zxx^2+y^2+z^2
O conteúdo aqui é limite em R^3 e vamos precisar testar limites ao longo de diferentes caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Vamos ao primeiro caminho: tome y=x e z=0. Substituindo no numerador e denominador, temos
xy+yz+zxx^2+y^2+z^2=xcdot x + xcdot0 + xcdot0x^2 + x^2 + 0=x^22x^2=12
Logo, ao longo desse caminho o limite é 1/2.

Passo 3

Agora teste outro caminho: escolha y=x e z=x. Então
xy+yz+zxx^2+y^2+z^2=xcdot x + xcdot x + xcdot xx^2 + x^2 + x^2=3x^23x^2=1
Nesse caso o limite é 1.

Passo 4

Como encontramos dois caminhos que dão valores diferentes ( 1/2 e 1), concluímos que o limite não pode ser único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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