Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
não existe. Como é um limite de função de duas variáveis, vamos usar o método de aproximar por diferentes retas (ou curvas) e verificar se o valor depende do caminho.

Passo 2

Aproximando pela reta y=0, temos
\frac{2x^{2}-0^{2}}{x^{2}+2\cdot0^{2}} =\frac{2x^{2}}{x^{2}} =2.
Logo,
\lim_{(x,0)\to(0,0)}\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}=2.

Passo 3

Aproximando pela reta y=x, obtemos
\frac{2x^{2}-x^{2}}{x^{2}+2x^{2}} =\frac{x^{2}}{3x^{2}} =\frac{1}{3}.
Portanto,
\lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Como ao aproximar por y=0 o limite vale 2 e por y=x vale \tfrac{1}{3}, o valor do limite depende do caminho. Logo, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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