Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2 x y+5 y^{2}}{3 x^{2}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-2xy+5y^{2}}{3x^{2}+4y^{2}}
não existe. Aqui usamos a ideia de que, em limites de duas variáveis, se o valor depender da trajetória de aproximação a (0,0), então o limite não existe.

Passo 2

Consideremos a reta y=mx com m\in\mathbb{R}. Substituindo na expressão e dividindo numerador e denominador por x^{2} (para x\neq0), obtemos
\frac{1-2m+5m^{2}}{3+4m^{2}}.

Passo 3

Para m=0, a fração vira
\frac{1-2\cdot0+5\cdot0^{2}}{3+4\cdot0^{2}}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Para m=1, a fração vira
\frac{1-2\cdot1+5\cdot1^{2}}{3+4\cdot1^{2}}=\frac{4}{7}.

Passo 5

Como \tfrac{1}{3}\neq\tfrac{4}{7}, o valor do limite depende do caminho escolhido. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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