Ache os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x y-y}{x^{2}-x+2 x y-2 y}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{xy - y}{x^{2} - x + 2xy - 2y}.
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e fatoração de expressões algébricas para verificar se dá para cancelar um fator que anule a indeterminação.

Passo 2

No numerador, percebemos que podemos fatorar y:
xy - y = y\,(x - 1).

Passo 3

No denominador, também há um fator (x-1). Vamos agrupar termos:
x^{2} - x + 2xy - 2y = x(x-1) + 2y(x-1) = (x-1)\,(x + 2y).

Passo 4

Com as fatorações, a expressão vira, para x\neq1,
\frac{xy - y}{x^{2} - x + 2xy - 2y} = \frac{y\,(x-1)}{(x-1)\,(x + 2y)} = \frac{y}{x + 2y}.
Essa nova função é contínua em (1,2) porque o denominador em (1,2) vale 1 + 2\cdot2 = 5 \neq 0.

Passo 5

Como a função simplificada é contínua em (1,2), o limite é o valor no próprio ponto:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{y}{x+2y} = \frac{2}{1 + 2\cdot2} = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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