Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x y-2 x-y+2}{x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5}

Passo 1

O enunciado nos dá o limite de função de duas variáveis
f(x,y) = \frac{xy - 2x - y + 2}{x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5}
quando (x,y)\to(1,2). O conteúdo é análise de limite em várias variáveis, e vamos usar a ideia de avaliar o limite por trajetórias diferentes para mostrar que não existe valor único.

Passo 2

Reescrevendo numerador e denominador em forma centrada em (1,2):
xy - 2x - y + 2 = (x-1)(y-2),
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = (x-1)^2 + (y-2)^2.
Logo
f(x,y) = \frac{(x-1)(y-2)}{(x-1)^2 + (y-2)^2}.

Passo 3

Para avaliar por uma reta qualquer, parametrize y-2 = k\,(x-1). Chamando u = x-1, temos y-2 = k\,u. Então
f(x,y) = \frac{u\cdot (k\,u)}{u^2 + (k\,u)^2} = \frac{k\,u^2}{u^2\,(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}.
Esse valor independe de u (ou seja, de quão perto de (1,2) estamos) e depende apenas de k.

Passo 4

Escolhendo k=0 (reta horizontal y=2), obtemos
\lim = 0.
Escolhendo k=1 (reta y-2 = x-1, ou y=x+1), obtemos
\lim = \frac{1}{2}.
Como esses resultados são diferentes, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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