Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{x^{2}-4 x+4}{x y-2 y-x+2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{x^{2}-4x+4}{xy-2y -x+2}
não existe. O conteúdo é de limites em duas variáveis e usamos o fato de que, se o limite existisse, ele deveria ser o mesmo ao longo de qualquer trajetória que leve a (2,1).

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para simplificar a expressão.
x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}
xy -2y -x +2 = y(x-2) -1(x-2) = (x-2)(y-1)

Passo 3

Para (x,y)\neq(2,1) temos
\frac{x^{2}-4x+4}{xy-2y -x+2} =\frac{(x-2)^{2}}{(x-2)(y-1)} =\frac{x-2}{y-1}.

Passo 4

Escolhemos caminhos do tipo
y-1 = m\,(x-2),
ou seja y = 1 + m(x-2). Ao longo dessa reta,
\frac{x-2}{y-1} = \frac{x-2}{m\,(x-2)} = \frac{1}{m},
que é constante e depende de m.

Passo 5

Para m=1 o valor do limite ao longo desse caminho é
\frac{1}{1} = 1,
enquanto para m=2 é
\frac{1}{2}.
Como obtemos dois valores diferentes, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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