Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 y^{5}-2 x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y^{3}}{2y^{5}-2x^{5}}
não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para provar que não existe, basta encontrar dois caminhos que conduzam a valores diferentes.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em
f(x,y)=\frac{3x^{2}y^{3}}{2y^{5}-2x^{5}}
temos
f(x,0)=\frac{3x^{2}\cdot0^{3}}{2\cdot0^{5}-2x^{5}}=0.
Logo, ao longo de y=0, o valor de f(x,y) tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Agora siga pela reta y=kx, com k\neq0 e 2k^{5}-2\neq0. Substituindo em bloco:
\frac{3x^{2}(kx)^{3}}{2(kx)^{5}-2x^{5}} =\frac{3k^{3}x^{5}}{(2k^{5}-2)\,x^{5}} =\frac{3k^{3}}{2k^{5}-2}.
Como essa expressão é constante em x, ao (x,y)\to(0,0) pelo caminho y=kx o limite é
\frac{3k^{3}}{2k^{5}-2}.

Passo 4

Note que o valor \tfrac{3k^{3}}{2k^{5}-2} depende de k. Por exemplo, para k=2 obtemos
\frac{3\cdot2^{3}}{2\cdot2^{5}-2} =\frac{24}{64-2} =\frac{24}{62} =\frac{12}{31}\neq0.
Portanto, pelo caminho y=0 o limite é 0 e pelo caminho y=2x o limite é \tfrac{12}{31}. São valores diferentes.

Resposta

O limite não existe.

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