Mostre que os limites abaixo não existem:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o limite
não existe.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função envolvida é
. - O ponto de interesse é
. - Temos que provar que a expressão não tende a um único valor quando
se aproxima de por quaisquer caminhos. - O enunciado não dá mais dados (nem figura). Vamos usar caminhos diferentes para chegar à origem e comparar os limites ao longo desses caminhos.
Passo 2
Conceito chave (explicadinho): limite em várias variáveis e teste por caminhos.
- Em duas variáveis, o limite
existe se, e somente se, para toda sequência (ou para todo caminho) os valores tendem ao mesmo . - Uma maneira prática e usual de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos distintos que levam a dois limites distintos. Se os limites ao longo de dois caminhos são diferentes, o limite total não existe.
Vou aplicar exatamente esse teste: calcular o limite ao longo de dois caminhos simples e ver se dão resultados diferentes.
Passo 3
Primeiro caminho: a reta
.
- Substituindo
na função obtemos
- Assim, ao aproximarmos
por pontos com (isto é, e ), o valor da função é sempre . Portanto o limite ao longo desta trajetória é
Passo 4
Segundo caminho: curvas do tipo
, com
fixo.
- Motivação: queremos igualar as potências de
no numerador e denominador para obter um valor finito não trivial. Note que com dá potência , e também escala como . Assim teremos cancelamento de e um limite dependente de . - Observação sobre a validade do caminho: para
temos , então é realmente um caminho que leva à origem. (Para a expressão é bem definida como porque a raiz cúbica de número negativo é negativa; se preferir, pode restringir sem perda de generalidade.)
Passo 5
Calcular o limite ao longo de
.
- Substituindo
em :
portanto
- O denominador fica
- Substituindo tudo:
- Agora faça
. Usamos que (porque é contínua onde definida e ). Assim
Passo 6
Concluir que o limite total não existe usando escolhas específicas de
.
- Pelo Passo 3, ao longo de
(que corresponde a ) o limite é . - Pelo Passo 5, escolhendo
(ou qualquer ) obtemos
- Como existem dois caminhos para
(por exemplo e ) que dão limites diferentes ( e ), o limite da função quando NÃO pode existir.
Resposta
O limite não existe.