Mostre que os limites abaixo não existem:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{5} y^{3} \operatorname{sec} (2 x)}{2 x^{10}+y^{6}}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{5}y^{3}\operatorname{sec}(2x)}{2x^{10}+y^{6}}
não existe.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função envolvida é f(x,y)=\dfrac{x^{5}y^{3}\operatorname{sec}(2x)}{2x^{10}+y^{6}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Temos que provar que a expressão não tende a um único valor quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer caminhos.
  • O enunciado não dá mais dados (nem figura). Vamos usar caminhos diferentes para chegar à origem e comparar os limites ao longo desses caminhos.

Passo 2

Conceito chave (explicadinho): limite em várias variáveis e teste por caminhos.
  • Em duas variáveis, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, e somente se, para toda sequência (x_n,y_n)\to(0,0) (ou para todo caminho) os valores f(x_n,y_n) tendem ao mesmo L.
  • Uma maneira prática e usual de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos distintos que levam a dois limites distintos. Se os limites ao longo de dois caminhos são diferentes, o limite total não existe.
    Vou aplicar exatamente esse teste: calcular o limite ao longo de dois caminhos simples e ver se dão resultados diferentes.

Passo 3

Primeiro caminho: a reta y=0.
  • Substituindo y=0 na função obtemos
f(x,0)=\frac{x^{5}\cdot 0^{3}\cdot \operatorname{sec}(2x)}{2x^{10}+0^{6}}=0.
  • Assim, ao aproximarmos (x,y)\to(0,0) por pontos com y=0 (isto é, x\to 0 e y\equiv 0), o valor da função é sempre 0. Portanto o limite ao longo desta trajetória é
\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0)=0.

Passo 4

Segundo caminho: curvas do tipo y = a\, x^{5/3}, com a\in\mathbb{R} fixo.
  • Motivação: queremos igualar as potências de x no numerador e denominador para obter um valor finito não trivial. Note que x^{5}y^{3} com y=(a x^{5/3}) dá potência x^{10}, e 2x^{10}+y^{6} também escala como x^{10}. Assim teremos cancelamento de x^{10} e um limite dependente de a.
  • Observação sobre a validade do caminho: para x\to 0 temos y=a x^{5/3}\to 0, então é realmente um caminho que leva à origem. (Para x<0 a expressão x^{5/3} é bem definida como \big(x^5\big)^{1/3} porque a raiz cúbica de número negativo é negativa; se preferir, pode restringir x\ge 0 sem perda de generalidade.)

Passo 5

Calcular o limite ao longo de y=a x^{5/3}.
  • Substituindo y=a x^{5/3} em f:
y^{3}=(a x^{5/3})^{3}=a^{3}x^{5},
portanto
x^{5}y^{3}=x^{5}\cdot a^{3}x^{5}=a^{3}x^{10}.
  • O denominador fica
2x^{10}+y^{6}=2x^{10}+(a x^{5/3})^{6}=2x^{10}+a^{6}x^{10}=x^{10}(2+a^{6}).
  • Substituindo tudo:
f\big(x, a x^{5/3}\big) = \frac{a^{3}x^{10}\operatorname{sec}(2x)}{x^{10}(2+a^{6})} = \frac{a^{3}\operatorname{sec}(2x)}{2+a^{6}}.
  • Agora faça x\to 0. Usamos que \lim_{x\to 0}\operatorname{sec}(2x)=\operatorname{sec}(0)=1 (porque \operatorname{sec} é contínua onde definida e 2x\to 0). Assim
\lim_{x\to 0} f\big(x, a x^{5/3}\big)=\frac{a^{3}\cdot 1}{2+a^{6}}=\frac{a^{3}}{2+a^{6}}.

Passo 6

Concluir que o limite total não existe usando escolhas específicas de a.
  • Pelo Passo 3, ao longo de y=0 (que corresponde a a=0) o limite é 0.
  • Pelo Passo 5, escolhendo a=1 (ou qualquer a\neq 0) obtemos
\lim_{x\to 0} f\big(x, x^{5/3}\big)=\frac{1^{3}}{2+1^{6}}=\frac{1}{3}\neq 0.
  • Como existem dois caminhos para (0,0) (por exemplo y=0 e y=x^{5/3}) que dão limites diferentes ( 0 e 1/3), o limite da função quando (x,y)\to(0,0) NÃO pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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