[2pt] Resolva o PVI:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=6 \operatorname{sen}(x) \\\ y(0)=-\frac{3}{4} \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=6\operatorname{sen}(x)\\[4pt] y(0)=-\dfrac{3}{4}\\[4pt] y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
Perguntas claras: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Equação: }y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=6\operatorname{sen}(x).çã
\text{Condições iniciais: }y(0)=-\dfrac{3}{4},\quad y^{\prime}(0)=0.çõ
Não resolvemos nada ainda — só listamos o que é pedido e os dados.]

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=0.
Usamos a técnica padrão: procurar soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+4r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas -2\pm i, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) para a parte não homogênea 6\operatorname{sen}(x) (uso \sin x no lugar de \operatorname{sen} x, mesma coisa). Como o segundo membro é uma combinação de \sin x e \cos x, tentamos uma ansatz simples do tipo
y_{p}(x)=A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes reais a determinar. Essa escolha é apropriada porque \cos x e \sin x não são soluções da homogênea multiplicadas por e^{-2x}; portanto não precisamos multiplicar por x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}^{\prime}(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=-A\cos x - B\sin x.
Substituímos y_{p},y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}+4y_{p}^{\prime}+5y_{p}=(-A\cos x - B\sin x)+4(-A\sin x + B\cos x)+5(A\cos x + B\sin x).
Agora agrupamos termos em \cos x e \sin x.

Passo 5

Coeficientes de \cos x\): \[(-A)+4B+5A=4A+4B.
Coeficientes de \sin x:
(-B)-4A+5B=4B-4A.
Portanto o lado esquerdo vale
(4A+4B)\cos x + (4B-4A)\sin x.
Devemos igualar isso ao lado direito 6\sin x, isto é 0\cos x + 6\sin x. Igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} 4A+4B=0,\\[4pt] 4B-4A=6. \end{cases}
Podemos simplificar dividindo por (4]:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B-A=\dfrac{3}{2}. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema: da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
(-A)-A=\dfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -2A=\dfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad A=-\dfrac{3}{4}.
Então
B=-A=\dfrac{3}{4}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x.

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro y(0)=-\dfrac{3}{4}. Calculamos y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)-\dfrac{3}{4}\cos 0 + \dfrac{3}{4}\sin 0=C_{1}-\dfrac{3}{4}.
Igualando a condição inicial:
C_{1}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.

Passo 8

Agora usamos y^{\prime}(0)=0. Precisamos da derivada geral. Diferenciando y(x):
Para a parte homogênea usamos a regra do produto. Com u(x)=e^{-2x} e v(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
u'(x)=-2e^{-2x},\qquad v'(x)=-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Logo
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x)\big)=e^{-2x}\big((-2C_{1}+C_{2})\cos x + (-2C_{2}-C_{1})\sin x\big).
A derivada da parte particular é
\frac{d}{dx}\Big(-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x\Big)=\dfrac{3}{4}\sin x + \dfrac{3}{4}\cos x.
Somando,
y^{\prime}(x)=e^{-2x}\big((-2C_{1}+C_{2})\cos x + (-2C_{2}-C_{1})\sin x\big)+\dfrac{3}{4}(\sin x + \cos x).
Agora avaliamos em x=0. Lembrando que \cos 0=1 e \sin 0=0, e já sabemos C_{1}=0, obtemos
y^{\prime}(0)=(-2\cdot 0 + C_{2})+\dfrac{3}{4}=C_{2}+\dfrac{3}{4}.
Impondo y^{\prime}(0)=0
C_{2}+\dfrac{3}{4}=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\dfrac{3}{4}.

Passo 9

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=-\dfrac{3}{4} na solução geral, temos
y(x)=e^{-2x}\Big(0\cdot\cos x -\dfrac{3}{4}\sin x\Big)-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x.
Simplificando:
y(x)=-\dfrac{3}{4}e^{-2x}\sin x -\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x.
Podemos fatorar \dfrac{3}{4} se quisermos uma forma mais compacta:
y(x)=\dfrac{3}{4}\big(-e^{-2x}\sin x -\cos x + \sin x\big).

Resposta

y(x)=-\dfrac{3}{4}e^{-2x}\sin x -\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{3}{4}\sin x

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