Perguntas claras: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não resolvemos nada ainda — só listamos o que é pedido e os dados.]
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=0.
Usamos a técnica padrão: procurar soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+4r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas -2\pm i, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) para a parte não homogênea 6\operatorname{sen}(x) (uso \sin x no lugar de \operatorname{sen} x, mesma coisa). Como o segundo membro é uma combinação de \sin x e \cos x, tentamos uma ansatz simples do tipo
y_{p}(x)=A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes reais a determinar. Essa escolha é apropriada porque \cos x e \sin x não são soluções da homogênea multiplicadas por e^{-2x}; portanto não precisamos multiplicar por x.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}^{\prime}(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=-A\cos x - B\sin x.
Substituímos y_{p},y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}+4y_{p}^{\prime}+5y_{p}=(-A\cos x - B\sin x)+4(-A\sin x + B\cos x)+5(A\cos x + B\sin x).
Agora agrupamos termos em \cos x e \sin x.
Passo 5
Coeficientes de \cos x\):
\[(-A)+4B+5A=4A+4B.
Coeficientes de \sin x:
(-B)-4A+5B=4B-4A.
Portanto o lado esquerdo vale
(4A+4B)\cos x + (4B-4A)\sin x.
Devemos igualar isso ao lado direito 6\sin x, isto é 0\cos x + 6\sin x. Igualando coeficientes obtemos o sistema