Resolva o PVI:
[2pt]
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-9 y=e^{-2 x}+2-x \\\ y(0)=-\frac{13}{81} \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função y(x)\) que satisfaz: \[\begin{cases} y''+5y'-9y = e^{-2x}+2-x,\\[4pt] y(0)=-\dfrac{13}{81},\\[4pt] y'(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo independente (lado direito) é a soma de duas partes: uma exponencial \,e^{-2x}\,\] e um polinômio de grau 1 \(\,2-x.
  • Temos condições iniciais em x=0 para y e y'.
    A partir disso devemos obter a solução geral (soma da solução homogênea e de uma particular) e usar as condições iniciais para determinar as constantes.]

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
y''+5y'-9y=0.
Explicando a técnica: para uma EDO linear com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+5r-9=0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-9)}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+36}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.
Chamando
r_1=\frac{-5+\sqrt{61}}{2},\qquad r_2=\frac{-5-\sqrt{61}}{2},
temos duas raízes reais distintas. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Como o lado direito é soma de termos simples, procuramos y_p como soma das particulares correspondentes a cada termo.
  1. Para o termo e^{-2x}: tentamos y_{p1}=A e^{-2x}. Antes de assumir isso checamos se r=-2 é raiz da equação característica. Como as raízes são r_1 e r_2 acima e nenhuma delas é -2, não precisamos multiplicar por x. Então prosseguimos com y_{p1}=A e^{-2x}.
Calculamos derivadas:
y_{p1}'=-2A e^{-2x},\qquad y_{p1}''=4A e^{-2x}.
Substituindo na equação:
y_{p1}''+5y_{p1}'-9y_{p1}=(4A)+5(-2A)-9A\quad\text{vezes }e^{-2x} = (4A-10A-9A)e^{-2x}=(-15A)e^{-2x}.
Esse termo deve igualar e^{-2x}. Logo
-15A=1\quad\Rightarrow\quad A=-\dfrac{1}{15}.
Portanto
y_{p1}=-\dfrac{1}{15}e^{-2x}.
  1. Para o polinômio 2-x (grau 1): tentamos y_{p2}=Bx+C. As derivadas são
y_{p2}'=B,\qquad y_{p2}''=0.
Substituindo na equação:
0+5B-9(Bx+C)=-9Bx+(5B-9C).
Esse polinômio deve igualar 2-x, ou seja -1\cdot x + 2. Igualando coeficientes:
  • Coeficiente de x: -9B=-1\Rightarrow B=\dfrac{1}{9}.
  • Termo constante: 5B-9C=2. Substituindo B=\dfrac{1}{9}:
5\cdot\dfrac{1}{9}-9C=2\quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{9}-9C=2.
Subtraindo \dfrac{5}{9} dos dois lados:
-9C=2-\dfrac{5}{9}=\dfrac{18}{9}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{13}{9}\quad\Rightarrow\quad C=-\dfrac{13}{81}.
Portanto
y_{p2}=\dfrac{1}{9}x-\dfrac{13}{81}.
Somando as partes particulares obtemos
y_p(x)=y_{p1}+y_{p2}=-\dfrac{1}{15}e^{-2x}+\dfrac{1}{9}x-\dfrac{13}{81}.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}-\dfrac{1}{15}e^{-2x}+\dfrac{1}{9}x-\dfrac{13}{81}.
Lembrete: r_1=\dfrac{-5+\sqrt{61}}{2} e r_2=\dfrac{-5-\sqrt{61}}{2}.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Calculamos y(0). Substituindo x=0:
y(0)=C_1 + C_2 -\dfrac{1}{15}\cdot 1 + 0 -\dfrac{13}{81}=C_1+C_2-\dfrac{1}{15}-\dfrac{13}{81}.
Calculemos a soma das frações:
\dfrac{1}{15}=\dfrac{27}{405},\qquad \dfrac{13}{81}=\dfrac{65}{405},
logo \dfrac{1}{15}+\dfrac{13}{81}=\dfrac{27+65}{405}=\dfrac{92}{405}. Então
y(0)=C_1+C_2-\dfrac{92}{405}.
A condição é y(0)=-\dfrac{13}{81}=-\dfrac{65}{405}. Igualando:
C_1+C_2-\dfrac{92}{405}=-\dfrac{65}{405}\quad\Rightarrow\quad C_1+C_2=\dfrac{27}{405}=\dfrac{1}{15}.
Portanto obtemos a primeira equação:
C_1+C_2=\dfrac{1}{15}.
Agora calculamos y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x}+\left(-\dfrac{1}{15}\right)(-2)e^{-2x}+\dfrac{1}{9}.
Simplificando o termo exponencial:
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x}+\dfrac{2}{15}e^{-2x}+\dfrac{1}{9}.
Em x=0:
y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2 +\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{9}.
Somando as frações:
\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{6+5}{45}=\dfrac{11}{45}.
A condição é y'(0)=0, então
C_1 r_1 + C_2 r_2 +\dfrac{11}{45}=0\quad\Rightarrow\quad C_1 r_1 + C_2 r_2 = -\dfrac{11}{45}.
Temos então o sistema linear:
\begin{cases} C_1+C_2=\dfrac{1}{15},\\[4pt] C_1 r_1 + C_2 r_2 = -\dfrac{11}{45}. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema para C_1 e C_2. Usamos substituição: C_2=\dfrac{1}{15}-C_1. Substituindo na segunda equação:
C_1 r_1 +\left(\dfrac{1}{15}-C_1\right)r_2=-\dfrac{11}{45}.
Isso dá
C_1(r_1-r_2)+\dfrac{r_2}{15}=-\dfrac{11}{45}.
Observação útil: r_1-r_2=\sqrt{61} (porque as raízes são \dfrac{-5\pm\sqrt{61}}{2}). Assim
C_1=\frac{-\dfrac{11}{45}-\dfrac{r_2}{15}}{r_1-r_2}=\frac{-\dfrac{11}{45}-\dfrac{r_2}{15}}{\sqrt{61}}.
Agora substituímos r_2=\dfrac{-5-\sqrt{61}}{2} e calculamos cuidadosamente o numerador:
-\dfrac{11}{45}-\dfrac{r_2}{15}=-\dfrac{11}{45}-\dfrac{1}{15}\cdot\dfrac{-5-\sqrt{61}}{2}=-\dfrac{11}{45}+\dfrac{5+\sqrt{61}}{30}.
Colocando sobre o mesmo denominador 90:
-\dfrac{11}{45}=-\dfrac{22}{90},\qquad \dfrac{5+\sqrt{61}}{30}=\dfrac{15+3\sqrt{61}}{90},
logo a soma é
-\dfrac{22}{90}+\dfrac{15+3\sqrt{61}}{90}=\dfrac{-7+3\sqrt{61}}{90}.
Portanto
C_1=\dfrac{-7+3\sqrt{61}}{90}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{61}}=\dfrac{3\sqrt{61}-7}{90\sqrt{61}}.
Usando C_2=\dfrac{1}{15}-C_1 obtemos
C_2=\dfrac{1}{15}-\dfrac{3\sqrt{61}-7}{90\sqrt{61}}.
Colocando sobre denominador comum 90\sqrt{61}:
\dfrac{1}{15}=\dfrac{6}{90}=\dfrac{6\sqrt{61}}{90\sqrt{61}},
logo
C_2=\dfrac{6\sqrt{61}-(3\sqrt{61}-7)}{90\sqrt{61}}=\dfrac{6\sqrt{61}-3\sqrt{61}+7}{90\sqrt{61}}=\dfrac{3\sqrt{61}+7}{90\sqrt{61}}.
Assim temos C_1 e C_2 em forma explícita:
C_1=\dfrac{3\sqrt{61}-7}{90\sqrt{61}},\qquad C_2=\dfrac{3\sqrt{61}+7}{90\sqrt{61}}.

Passo 7

Substituindo C_1, C_2, r_1, r_2 e a parte particular na expressão geral, obtemos a solução do PVI:
y(x)=\dfrac{3\sqrt{61}-7}{90\sqrt{61}}\,e^{\frac{-5+\sqrt{61}}{2}x}+\dfrac{3\sqrt{61}+7}{90\sqrt{61}}\,e^{\frac{-5-\sqrt{61}}{2}x}-\dfrac{1}{15}e^{-2x}+\dfrac{1}{9}x-\dfrac{13}{81}.
Pronto! Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. Força aí — você já conseguiu chegar até aqui; na prova faça os mesmos passos: homogênea, particular por partes, juntar e aplicar condições iniciais com cuidado nas frações.

Resposta

y(x)=\dfrac{3\sqrt{61}-7}{90\sqrt{61}}\,e^{\frac{-5+\sqrt{61}}{2}x}+\dfrac{3\sqrt{61}+7}{90\sqrt{61}}\,e^{\frac{-5-\sqrt{61}}{2}x}-\dfrac{1}{15}e^{-2x}+\dfrac{1}{9}x-\dfrac{13}{81}

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