O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função y(x)\) que satisfaz:
\[\begin{cases} y''+5y'-9y = e^{-2x}+2-x,\\[4pt] y(0)=-\dfrac{13}{81},\\[4pt] y'(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo independente (lado direito) é a soma de duas partes: uma exponencial \,e^{-2x}\,\] e um polinômio de grau 1 \(\,2-x.
Temos condições iniciais em x=0 para y e y'.
A partir disso devemos obter a solução geral (soma da solução homogênea e de uma particular) e usar as condições iniciais para determinar as constantes.]
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
y''+5y'-9y=0.
Explicando a técnica: para uma EDO linear com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
temos duas raízes reais distintas. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Como o lado direito é soma de termos simples, procuramos y_p como soma das particulares correspondentes a cada termo.
Para o termo e^{-2x}: tentamos y_{p1}=A e^{-2x}. Antes de assumir isso checamos se r=-2 é raiz da equação característica. Como as raízes são r_1 e r_2 acima e nenhuma delas é -2, não precisamos multiplicar por x. Então prosseguimos com y_{p1}=A e^{-2x}.
Pronto! Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. Força aí — você já conseguiu chegar até aqui; na prova faça os mesmos passos: homogênea, particular por partes, juntar e aplicar condições iniciais com cuidado nas frações.