Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
ou seja, encontrar as funções
que satisfazem essa relação para
no domínio onde a expressão faz sentido. Informações dadas e observações iniciais:
- A equação é de primeira ordem: envolve
(derivada primeira de em relação a ). - A expressão tem denominador
, portanto devemos ter para que o coeficiente não seja singular. - O enunciado não fornece condições iniciais; então vamos buscar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Reescrevo a equação de forma mais clara dividindo ambos os lados por
:
Aqui usei simplesmente que
. Note que a equação está no formato
com
. Isso é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem — também é separável — e vamos aproveitar a forma separável porque é direta e rápida.
Passo 3
Método: separação de variáveis (ou método da equação linear homogênea). A ideia da separação é colocar todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro, para depois integrar. Formalmente, dividimos por
(assumindo momentaneamente
) e multiplicamos por
:
Explicação didática da etapa: ao reescrever
como
, estamos transformando a equação diferencial numa igualdade entre duas diferenciais que dependem de variáveis distintas, o que nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 4
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral padrão de
:
Explicação:
porque a derivada de
é
. O valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural está definida para argumentos positivos, e
pode ser negativo.
No lado direito precisamos calcular
Passo 5
Calculo a integral do lado direito simplificando a fração:
Portanto
As integrais são elementares:
Logo
Passo 6
Igualando as integrais (absorvendo constantes):
onde
é uma constante arbitrária (
). Agora exponencio ambos os lados para resolver para
:
Uso
. Definindo
obtemos
Passo 7
Removo o valor absoluto absorvendo o sinal na constante: permita
ser qualquer constante real (positiva, negativa ou zero). Assim a solução geral fica
com
. Observações importantes:
- A solução exige
. - Como o problema não dá condição inicial, a constante
é arbitrária. O caso corresponde à solução trivial . - Em princípio a solução é válida em intervalos onde
não muda de sinal (por exemplo ou ); isso faz com que a escolha da constante seja consistente sem precisar lidar com a descontinuidade em .
Passo 8
Verificação rápida (para ficar tranquilo): tomo
e calculo
usando produto/quotient rule:
ou seja, satisfaz a equação original.