Resolva as EDO:
\frac{x y}{x+1}=y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{x\,y}{x+1}=y',
ou seja, encontrar as funções y(x) que satisfazem essa relação para x no domínio onde a expressão faz sentido. Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação é de primeira ordem: envolve y' (derivada primeira de y em relação a x).
  • A expressão tem denominador x+1, portanto devemos ter x\neq -1 para que o coeficiente não seja singular.
  • O enunciado não fornece condições iniciais; então vamos buscar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Reescrevo a equação de forma mais clara dividindo ambos os lados por 1:
y'=\frac{x}{x+1}\,y.
Aqui usei simplesmente que y'=\dfrac{dy}{dx}. Note que a equação está no formato
\frac{dy}{dx}=p(x)\,y,
com p(x)=\dfrac{x}{x+1}. Isso é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem — também é separável — e vamos aproveitar a forma separável porque é direta e rápida.

Passo 3

Método: separação de variáveis (ou método da equação linear homogênea). A ideia da separação é colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro, para depois integrar. Formalmente, dividimos por y (assumindo momentaneamente y\neq0) e multiplicamos por dx:
\frac{dy}{y}=\frac{x}{x+1}\,dx.
Explicação didática da etapa: ao reescrever \dfrac{dy}{dx}=p(x)y como \dfrac{1}{y}dy=p(x)\,dx, estamos transformando a equação diferencial numa igualdade entre duas diferenciais que dependem de variáveis distintas, o que nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral padrão de \dfrac{1}{y}:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln\lvert y\rvert + C_1.
Explicação: \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln\lvert y\rvert porque a derivada de \ln\lvert y\rvert é 1/y. O valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural está definida para argumentos positivos, e y pode ser negativo.
No lado direito precisamos calcular
\int \frac{x}{x+1}\,dx.

Passo 5

Calculo a integral do lado direito simplificando a fração:
\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.
Portanto
\int \frac{x}{x+1}\,dx=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=\int 1\,dx - \int \frac{1}{x+1}\,dx.
As integrais são elementares:
\int 1\,dx = x,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln\lvert x+1\rvert.
Logo
\int \frac{x}{x+1}\,dx = x - \ln\lvert x+1\rvert + C_2.

Passo 6

Igualando as integrais (absorvendo constantes):
\ln\lvert y\rvert = x - \ln\lvert x+1\rvert + C,
onde C é uma constante arbitrária ( C=C_2-C_1). Agora exponencio ambos os lados para resolver para y:
\lvert y\rvert = e^{\,x - \ln\lvert x+1\rvert + C}=e^{C}\,e^{x}\,e^{-\ln\lvert x+1\rvert}.
Uso e^{-\ln\lvert x+1\rvert}=\dfrac{1}{e^{\ln\lvert x+1\rvert}}=\dfrac{1}{\lvert x+1\rvert}. Definindo A=e^{C}>0 obtemos
\lvert y\rvert = A\,\frac{e^{x}}{\lvert x+1\rvert}.

Passo 7

Removo o valor absoluto absorvendo o sinal na constante: permita K ser qualquer constante real (positiva, negativa ou zero). Assim a solução geral fica
y(x)=K\,\frac{e^{x}}{x+1},
com K\in\mathbb{R}. Observações importantes:
  • A solução exige x\neq -1.
  • Como o problema não dá condição inicial, a constante K é arbitrária. O caso K=0 corresponde à solução trivial y\equiv 0.
  • Em princípio a solução é válida em intervalos onde x+1 não muda de sinal (por exemplo x>-1 ou x<-1); isso faz com que a escolha da constante seja consistente sem precisar lidar com a descontinuidade em x=-1.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar tranquilo): tomo y(x)=K e^{x}(x+1)^{-1} e calculo y' usando produto/quotient rule:
y' = K\left(e^{x}\frac{1}{x+1}\right)' = K\left(e^{x}\frac{1}{x+1} + e^{x}\left(-1\right)\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)
=K e^{x}\frac{(x+1)-1}{(x+1)^{2}}=K e^{x}\frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{x}{x+1}\cdot K\frac{e^{x}}{x+1}=\frac{x}{x+1}\,y,
ou seja, satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C\,\frac{e^{x}}{x+1},\qquad C\in\mathbb{R},\; x\neq -1

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