Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}
não existe. O conteúdo aqui é análise de limites de funções de duas variáveis: para provar que um limite não existe, basta encontrar duas trajetórias de aproximação a (0,0) que forneçam valores diferentes.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Então, aproximando (x,0)\to(0,0), temos
\frac{x^{4}}{x^{4}+0}=\frac{x^{4}}{x^{4}}=1
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\lim_{x\to0}\frac{x^{4}}{x^{4}+0}=1.

Passo 3

Considere agora a trajetória x=0. Aproximando (0,y)\to(0,0), o numerador é zero e o denominador é y^{2}, então
\frac{0}{0+y^{2}}=0
e
\lim_{y\to0}\frac{0}{y^{2}}=0.

Passo 4

Como pelas duas trajetórias obtemos limites diferentes (um vale 1 e outro vale 0), conclui-se que o limite original não pode existir — ele dependeria da direção de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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