Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n . O traço de A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos da diagonal principal de A , isto é, tr(A)=a11+a22+ldots+ann. Dadas as matrizes A=(ccc1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7) e B=(ccc0 & -2 & 2 -1 & 5 & 4 3 & -1 & 7), verifique que:
tr(A cdot B)=tr(B cdot A)

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz quadrada A=(aij) como
tr(A)=sumi=1^naii,
e pede para verificar, para as matrizes
A= 1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7 , B= 0 & -2 & 2 -1 & 5 & 4 3 & -1 & 7 ,
que tr(AB)=tr(BA). Vamos calcular cada um desses traços usando a definição de multiplicação de matrizes e depois comparar.

Passo 2

Calcular tr(AB). Para isso, primeiro obtemos os elementos diagonais de AB:
(AB)11=1cdot0+3cdot(-1)+6cdot3=0-3+18=15,
(AB)22=2cdot(-2)+(-5)cdot5+8cdot(-1)=-4-25-8=-37,
(AB)33=4cdot2+(-2)cdot4+7cdot7=8-8+49=49
Logo,
tr(AB)=15+(-37)+49=27

Passo 3

Calcular tr(BA). De modo análogo, obtemos os elementos diagonais de BA:
(BA)11=0cdot1+(-2)cdot2+2cdot4=0-4+8=4,
(BA)22=(-1)cdot3+5cdot(-5)+4cdot(-2)=-3-25-8=-36,
(BA)33=3cdot6+(-1)cdot8+7cdot7=18-8+49=59
Portanto,
tr(BA)=4+(-36)+59=27

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
tr(AB)=27 e tr(BA)=27,
logo
tr(AB)=tr(BA)

Resposta

tr(Acdot B)=tr(Bcdot A), pois ambos valem 27.

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