Mostre que os limites seguintes nāo existem
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^3

Passo 1

A questão pede pra mostrar que o limite $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y}{x^2 + y^3}$ não existe. O tema é limites de funções de duas variáveis, e vamos usar o método de comparar valores ao longo de diferentes caminhos para ver que o resultado depende do caminho escolhido.

Passo 2

Em limites de duas variáveis, se ao percorrer caminhos diferentes chegamos a valores distintos, o limite não existe. Por isso, vamos escolher a reta m como caminho paramétrico, onde $m$ é um parâmetro qualquer.

Passo 3

Substituindo $y = m x$ na função, temos:
$ y = m x
À medida que $x \to 0$, o termo $m^3 x$ tende a zero, então o quociente tende a $m/(1+0) = m$. Ou seja,
xcdot (m x)x^2 + (m x)^3 = m x^2x^2 + m^3 x^3 = m x^2x^2(1 + m^3 x) = m1 + m^3 x

Passo 4

Como o valor do limite depende de $m$, podemos escolher dois valores de $m$ diferentes e obter resultados diferentes. Por exemplo, se $m=1$ dá limite 1, e se $m=2$ dá limite 2.
Logo, há caminhos que levam a resultados distintos, o que prova que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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