Mostre que os limites seguintes nāo existem
Passo 1
A questão pede pra mostrar que o limite $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y}{x^2 + y^3}$ não existe. O tema é limites de funções de duas variáveis, e vamos usar o método de comparar valores ao longo de diferentes caminhos para ver que o resultado depende do caminho escolhido.
Passo 2
Em limites de duas variáveis, se ao percorrer caminhos diferentes chegamos a valores distintos, o limite não existe. Por isso, vamos escolher a reta
como caminho paramétrico, onde $m$ é um parâmetro qualquer.
Passo 3
Substituindo $y = m x$ na função, temos:
$
À medida que $x \to 0$, o termo $m^3 x$ tende a zero, então o quociente tende a $m/(1+0) = m$. Ou seja,
À medida que $x \to 0$, o termo $m^3 x$ tende a zero, então o quociente tende a $m/(1+0) = m$. Ou seja,
Passo 4
Como o valor do limite depende de $m$, podemos escolher dois valores de $m$ diferentes e obter resultados diferentes. Por exemplo, se $m=1$ dá limite 1, e se $m=2$ dá limite 2.
Logo, há caminhos que levam a resultados distintos, o que prova que o limite original não existe.
Logo, há caminhos que levam a resultados distintos, o que prova que o limite original não existe.
Resposta
O limite não existe.