Seja f: R^2-(0,0) R a funçāo definida por
f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^13
Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0), ao longo dos seguintes caminhos:
curva y=x^2.
A função f tem limite em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de f(x,y)=tfrac3x^4y^4(x^4+y^2)^1/3 quando (x,y)to(0,0) ao longo da curva y=x^2, e em seguida verificar se o limite em (0,0) existe. O conteúdo envolve limite de funções de várias variáveis e uso do teorema do aperto.

Passo 2

Substituindo y=x^2 em f, temos
f(x,x^2)=3,x^4,(x^2)^4l(x^4+(x^2)^2r)^1/3=3,x^12(2x^4)^1/3=32^1/3,x^12-4/3=32^1/3,x^32/3
Como 32/3>0, segue que f(x,x^2)to0 quando xto0.

Passo 3

Para ver se o limite geral em (0,0) existe, basta encontrar um limite único para todas as direções. Note que
(x^4+y^2)^1/3>=(y^2)^1/3=|y|^2/3,logo
|f(x,y)|=3|x|^4|y|^4(x^4+y^2)^1/3<=3|x|^4|y|^4|y|^2/3=3|x|^4|y|^10/3

Passo 4

No disco de raio r em torno da origem, |x|<= r e |y|<= r, então
|f(x,y)|<=3r^4,r^10/3=3r^22/3
Como r^22/3to0 quando rto0, pelo teorema do aperto fica f(x,y)to0 para qualquer caminho.
Portanto, o limite ao longo de y=x^2 é zero, e esse valor é o mesmo para todas as direções, mostrando que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

Limite ao longo de y=x^2: 0. A função tem limite em (0,0) e vale 0.

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