Seja f: R^2-(0,0) R a funçāo definida por
f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^13
Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0), ao longo dos seguintes caminhos:
reta y=x;
A função f tem limite em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

O exercício pede para estudar os limites de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0), primeiro ao longo da reta y = x, e depois decidir se existe limite geral em (0,0). O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e usaremos substituição de caminhos e, depois, o teorema do aperto para justificar a existência do limite.

Passo 2

Para a reta y = x, substituímos y por x em f(x,y). Temos:
f(x,x)=3,x^4,x^4l(x^4+x^2r)^1/3
Note que x^4 + x^2 = x2(x2+1), logo
f(x,x)=3,x^8l(x^2(x^2+1)r)^1/3=3,x^8x^2/3,(x^2+1)^1/3=3,x^8-2/3(x^2+1)^1/3=3,x^22/3(x^2+1)^1/3

Passo 3

Quando x→0, o numerador x^{22/3}→0 e o denominador (x2+1){1/3}→1. Logo,
limxto0f(x,x)=0

Passo 4

Para ver se existe limite geral em (0,0), usamos o teorema do aperto. Definimos r2=x4+y^2. Como x^4≥0 e y^2≥0,
x^4y^4=(x^4)(y^2)^2<= (x^4+y^2)^3=r^6

Passo 5

Assim
0<= f(x,y)=3x^4y^4(x^4+y^2)^1/3<=3r^6r^2/3=3r^16/3

Passo 6

Como r→0 implica r^{16/3}→0, pelo teorema do aperto f(x,y)→0 quando (x,y)→(0,0). Portanto o limite geral existe e vale 0.

Resposta

O limite ao longo de y=x é 0. A função tem limite em (0,0) e esse limite é 0.

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