Seja
a funçāo definida por
Calcule os limites de
quando
, ao longo dos seguintes caminhos:
reta
;
A função
tem limite em
? Justifique!
reta
A função
Passo 1
O exercício pede para estudar os limites de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0), primeiro ao longo da reta y = x, e depois decidir se existe limite geral em (0,0). O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e usaremos substituição de caminhos e, depois, o teorema do aperto para justificar a existência do limite.
Passo 2
Para a reta y = x, substituímos y por x em f(x,y). Temos:
Note que x^4 + x^2 = x2(x2+1), logo
Passo 3
Quando x→0, o numerador x^{22/3}→0 e o denominador (x2+1){1/3}→1. Logo,
Passo 4
Para ver se existe limite geral em (0,0), usamos o teorema do aperto. Definimos r2=x4+y^2. Como x^4≥0 e y^2≥0,
Passo 5
Assim
Passo 6
Como r→0 implica r^{16/3}→0, pelo teorema do aperto f(x,y)→0 quando (x,y)→(0,0). Portanto o limite geral existe e vale 0.
Resposta
O limite ao longo de y=x é 0. A função tem limite em (0,0) e esse limite é 0.