Determine os seguintes limites por meio dos caminhos indicados:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-3)} \frac{4 x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2 x y^{2}} caminho y=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,-3)} \frac{4x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2x y^{2}}
ao longo do caminho dado por y=2x-1.
Informações relevantes:
  • A função a ser analisada é \dfrac{4x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2x y^{2}}.
  • O caminho impõe a relação \;y=2x-1.
  • O ponto de chegada na variável dupla é (-1,-3). Verificar que, para x=-1, y=2(-1)-1=-3, então o ponto do caminho corresponde ao ponto alvo; portanto basta estudar o limite quando x\to-1 ao substituir y=2x-1.

Passo 2

Reduzir o problema a um limite de uma única variável substituindo y=2x-1. Fazendo isso obtemos a função de x
g(x)=\frac{4x^{3}-x(2x-1)^{2}}{(2x-1)^{3}-2x(2x-1)^{2}}.
O limite pedido ao longo do caminho é então \displaystyle\lim_{x\to-1} g(x).

Passo 3

Simplificar o numerador passo a passo. Primeiro calcule (2x-1)^{2}:
(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1.
Agora o numerador é
4x^{3}-x(4x^{2}-4x+1)=4x^{3}-4x^{3}+4x^{2}-x=4x^{2}-x.
Podemos escrever também
4x^{2}-x=x(4x-1).

Passo 4

Simplificar o denominador passo a passo. Note que ambos os termos têm fator (2x-1)^{2}. Escrevemos
(2x-1)^{3}-2x(2x-1)^{2}=(2x-1)^{2}\big((2x-1)-2x\big).
Calculando o parêntese:
(2x-1)-2x=-1,
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(2x-1)^{3}-2x(2x-1)^{2}=-(2x-1)^{2}.

Passo 5

Usando as simplificações dos Passos 3 e 4, obtemos uma forma bem simples para g(x):
g(x)=\frac{4x^{2}-x}{-(2x-1)^{2}}=-\frac{4x^{2}-x}{(2x-1)^{2}}.
Agora avaliamos o limite quando x\to-1. Como o denominador em x=-1 é (2(-1)-1)^{2}=(-3)^{2}=9\neq0, a função g(x) é contínua naquele ponto e podemos substituir x=-1 diretamente:
4x^{2}-x\Big|_{x=-1}=4\cdot1-(-1)=4+1=5, \qquad (2x-1)^{2}\Big|_{x=-1}=9.

Passo 6

Portanto o valor do limite ao longo do caminho y=2x-1 é
-\frac{5}{9}.

Resposta

-\dfrac{5}{9}

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