Determine os seguintes limites por meio dos caminhos indicados: \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-3)} \frac{4 x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2 x y^{2}} caminho y=2 x-1
A função a ser analisada é \dfrac{4x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2x y^{2}}.
O caminho impõe a relação \;y=2x-1.
O ponto de chegada na variável dupla é (-1,-3). Verificar que, para x=-1, y=2(-1)-1=-3, então o ponto do caminho corresponde ao ponto alvo; portanto basta estudar o limite quando x\to-1 ao substituir y=2x-1.
Passo 2
Reduzir o problema a um limite de uma única variável substituindo y=2x-1. Fazendo isso obtemos a função de x
Agora avaliamos o limite quando x\to-1. Como o denominador em x=-1 é (2(-1)-1)^{2}=(-3)^{2}=9\neq0, a função g(x) é contínua naquele ponto e podemos substituir x=-1 diretamente: