Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.
cosh (z) ; z0=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de cosh(z) em torno de z0=0 e a região de convergência; o conteúdo é desenvolvimento em série de funções inteiras usando derivadas.

Passo 2

Para usar a definição de Taylor, lembramos que os coeficientes são dados por an=dfracf^(n)(0)n!, onde f(z)=cosh(z). Calculamos as derivadas repetidas e avaliamos em zero: as derivadas ímpares em zero são nulas (por envolver sinh(0)=0), e as derivadas pares alternam entre cosh(0)=1 e sinh(0)=0, resultando em f^(2n)(0)=1 e f^(2n+1)(0)=0.
Com isso, os coeficientes não nulos são apenas a2n=dfrac1(2n)! e todos os a2n+1=0. Substituindo na soma de Taylor, obtemos a expansão apenas em potências pares.

Passo 3

Para determinar a região de convergência, aplicamos o teste da razão a a2n:

Como o limite é zero para todo nlimntoinfty|a2(n+1)a2n|=limntoinfty1/(2n+2)!1/(2n)!=limntoinfty1(2n+2)(2n+1)=0, o raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para todo z.

Resposta

cosh(z)=sumn=0^inftyz^2n(2n)!
A série converge para todo zinC (raio de convergência infinito).

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