Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos
dados. Descreva a região de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
e a região de convergência; o conteúdo é desenvolvimento em série de funções inteiras usando derivadas.
Passo 2
Para usar a definição de Taylor, lembramos que os coeficientes são dados por
, onde
. Calculamos as derivadas repetidas e avaliamos em zero: as derivadas ímpares em zero são nulas (por envolver
), e as derivadas pares alternam entre
e
, resultando em
e
.
Com isso, os coeficientes não nulos são apenas e todos os
. Substituindo na soma de Taylor, obtemos a expansão apenas em potências pares.
Com isso, os coeficientes não nulos são apenas
Passo 3
Para determinar a região de convergência, aplicamos o teste da razão a
:
Como o limite é zero para todo
Resposta
A série converge para todo
(raio de convergência infinito).